Lemat o sklejaniu funkcji

Niech \( X \) będzie przestrzenią topologiczną, a \( A \) i \( B \) jej podzbiorami domkniętymi takimi, że \( A \cup B = X \). Załóżmy, że dane są odwzorowania \( f : A \to Y \) oraz \( g : B \to Y \), ciągłe względem przestrzeni topologicznej \( Y \), które są zgodne na części wspólnej \( A \cap B \), czyli \( f(x) = g(x) \) dla każdego \( x \in A \cap B \). Wówczas odwzorowanie \( h : X \to Y \), określone wzorem $$ h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{gdy } x \in A, \\ g(x) & \text{gdy } x \in B, \end{cases} $$ jest ciągłe.

W praktyce oznacza to, że jeśli mamy dwie funkcje ciągłe zdefiniowane na częściach przestrzeni, które się na siebie nakładają, i które dają te same wartości tam, gdzie się przecinają, możemy je bezpiecznie połączyć w jedną funkcję ciągłą na całym zbiorze.

To proste, ale bardzo użyteczne twierdzenie pojawia się często w analizie matematycznej i topologii, zwłaszcza wtedy, gdy budujemy funkcje „kawałkami".

Przykład

Rozważmy dwie funkcje określone na domkniętych przedziałach:

• \( f : [0, 1] \to \mathbb{R} \), dana wzorem \( f(x) = x \), ciągła na \( [0, 1] \);
• \( g : [1, 2] \to \mathbb{R} \), dana wzorem \( g(x) = 2 - x \), również ciągła na \( [1, 2] \).

Sprawdźmy, że spełnione są założenia lematu o sklejaniu funkcji:

1. Zbiory domknięte: przedziały \( [0, 1] \) oraz \( [1, 2] \) są domknięte w \( \mathbb{R} \).
2. Pokrycie: ich suma daje przedział \( [0, 2] \), czyli \( A \cup B = [0, 2] \).
3. Zgodność na przecięciu: część wspólna to zbiór \( \{1\} \). Sprawdźmy:
   - \( f(1) = 1 \)
   - \( g(1) = 2 - 1 = 1 \)
   Zatem \( f(1) = g(1) \), więc warunek zgodności jest spełniony.

Możemy więc zdefiniować funkcję \( h : [0, 2] \to \mathbb{R} \) w sposób następujący:

$$ h(x) = \begin{cases} x & \text{gdy } x \in [0, 1], \\ 2 - x & \text{gdy } x \in [1, 2]. \end{cases} $$

Funkcja \( h \) jest ciągła, ponieważ:

• na każdym z przedziałów składowych pokrywa się z funkcją ciągłą,
• w punkcie \( x = 1 \) obie definicje dają tę samą wartość, więc nie powstaje „skok".

W rezultacie \( h \) jest ciągła na całym przedziale \( [0, 2] \).

Graficznie funkcja ta składa się z dwóch odcinków prostych:

• na \( [0, 1] \): rosnącej prostej \( h(x) = x \),
• na \( [1, 2] \): malejącej prostej \( h(x) = 2 - x \).

Oba fragmenty łączą się płynnie w punkcie \( x = 1 \).

Dowód

Aby uzasadnić ciągłość odwzorowania \( h \), skorzystamy z klasycznego kryterium topologicznego: przeciwobraz zbioru domkniętego przez funkcję ciągłą jest zbiorem domkniętym.

Niech \( C \subseteq Y \) będzie zbiorem domkniętym. Wówczas powinno zachodzić, że \( h^{-1}(C) \) jest domknięty w \( X \).

Z definicji funkcji \( h \) otrzymujemy:

$$ h^{-1}(C) = f^{-1}(C) \cup g^{-1}(C). $$

Ponieważ:

• \( f \) jest ciągłe, więc \( f^{-1}(C) \) jest domknięty w \( A \),
• \( g \) jest ciągłe, więc \( g^{-1}(C) \) jest domknięty w \( B \),

a zbiory \( A \) i \( B \) są domknięte w \( X \), wynika stąd, że oba te przeciwobrazy są domknięte również w \( X \).

Ich suma, czyli \( h^{-1}(C) \), jako suma zbiorów domkniętych, jest zatem domknięta w \( X \).

To dowodzi, że funkcja \( h \) jest ciągła na całej przestrzeni \( X \), co kończy dowód lematu.