Twierdzenie o zachowaniu domknięcia przez funkcję ciągłą

Niech $ f : X \to Y $ będzie funkcją ciągłą oraz niech $ A \subset X $. Jeżeli punkt $ x \in X $ należy do domknięcia zbioru $ A $, czyli $ x \in \overline{A} $, to jego obraz $ f(x) $ należy do domknięcia obrazu zbioru $ A $, a więc $ f(x) \in \overline{f(A)} $.

Intuicyjnie oznacza to, że funkcja ciągła nie „oddala" punktów od zbioru w sensie topologicznym. Jeśli punkt znajduje się dowolnie blisko zbioru $ A $, to jego obraz pozostaje dowolnie blisko zbioru $ f(A) $.

Przykład
Dowód

Przykład

Rozważmy funkcję ciągłą $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, daną wzorem $ f(x) = x^2 $, oraz zbiór $ A = (0, 2) \subseteq \mathbb{R} $.

$$ A = (0,2) $$

Domknięcie zbioru $ A $ to przedział $ \overline{A} = [0, 2] $. Obejmuje on również punkty brzegowe $ 0 $ i $ 2 $, które nie należą do $ A $, ale można do nich dowolnie się zbliżyć, pozostając w $ A $.

$$ \overline{A} = [0,2] $$

Obraz zbioru $ A $ przez funkcję $ f $ to przedział $ f(A) = (0, 4) $, ponieważ wartości funkcji $ x^2 $ dla $ x \in (0, 2) $ wypełniają wszystkie liczby rzeczywiste między $ 0 $ a $ 4 $.

$$ f(A) = (0,4) $$

Domknięcie tego obrazu ma postać $ \overline{f(A)} = [0, 4] $. Zawiera ono także wartości graniczne $ 0 $ i $ 4 $, które odpowiadają granicom funkcji, gdy $ x $ zbliża się odpowiednio do $ 0 $ i $ 2 $.

$$ \overline{f(A)} = [0,4] $$

Zgodnie z twierdzeniem każdy punkt z $ \overline{A} $ przechodzi przez funkcję $ f $ na punkt należący do $ \overline{f(A)} $.

Dla $ x = 0 $ mamy $ f(0) = 0 $, a więc $ 0 \in \overline{f(A)} $.
Dla $ x = 2 $ mamy $ f(2) = 4 $, czyli $ 4 \in \overline{f(A)} $.
Dla każdego $ x \in (0, 2) $ również zachodzi $ f(x) \in \overline{f(A)} $.

Przykład pokazuje, że własność ta działa zarówno dla punktów wewnętrznych, jak i dla punktów brzegowych.

Dowód

Niech $ f : X \to Y $ będzie funkcją ciągłą oraz niech $ x \in X $ i $ A \subset X $.

Załóżmy nie wprost, że $ f(x) \notin \overline{f(A)} $.

$$ f(x) \notin \overline{f(A)} $$

Wtedy, z definicji domknięcia, istnieje zbiór otwarty $ B \subseteq Y $, taki że $ f(x) \in B $ oraz $ B \cap f(A) = \emptyset $.

Oznacza to, że istnieje otoczenie punktu $ f(x) $, które nie zawiera żadnych punktów obrazu $ f(A) $.

Ponieważ funkcja $ f $ jest ciągła, przeciwobraz zbioru $ B $, czyli $ f^{-1}(B) $, jest zbiorem otwartym w $ X $, zawierającym punkt $ x $.

Z warunku $ B \cap f(A) = \emptyset $ wynika, że $ f^{-1}(B) \cap A = \emptyset $.

Otrzymujemy więc otwarte otoczenie punktu $ x $, które nie ma punktów wspólnych ze zbiorem $ A $. To jednak przeczy założeniu, że $ x \in \overline{A} $.

Sprzeczność ta pokazuje, że nasze założenie było błędne. Zatem musi zachodzić $ f(x) \in \overline{f(A)} $.

Uwaga : Kluczowym elementem dowodu jest fakt, że przeciwobraz zbioru otwartego przez funkcję ciągłą jest zbiorem otwartym. Dzięki temu własność domknięcia „przenosi się" przez funkcję.

Dowód jest zakończony.