Twierdzenie o zachowaniu granicy ciągu przez funkcję ciągłą

Niech $ f : X \to Y $ będzie funkcją ciągłą, a $ (x_n) $ ciągiem w przestrzeni $ X $, zbieżnym do punktu $ x $. Wówczas ciąg obrazów $ (f(x_n)) $ jest zbieżny do $ f(x) $ w $ Y $.

Innymi słowy, funkcja ciągła zachowuje granicę ciągu. Jeżeli więc ciąg zbliża się do pewnego punktu, to jego obrazy przez funkcję ciągłą zbliżają się do obrazu tego punktu.

Intuicja
Przykład
Dowód

Intuicja

Wyobraź sobie, że wyrazy ciągu $ (x_n) $ „zbliżają się" do punktu $ x $. Funkcja ciągła nie zaburza tego procesu: wartości $ f(x_n) $ również będą zbliżać się do $ f(x) $.

To jedna z podstawowych własności funkcji ciągłych, która sprawia, że są one tak dobrze zachowujące się z punktu widzenia analizy matematycznej.

Przykład

Rozważmy funkcję liniową $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ określoną wzorem $ f(x) = 2x $ oraz ciąg $ x_n = \frac{1}{n} $, gdzie $ n \in \mathbb{N} $.

Ciąg $ (x_n) $ jest zbieżny i ma granicę równą $ 0 $, czyli $ x_n \to 0 $ dla $ n \to \infty $.

Początkowe wyrazy tego ciągu to: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = \frac{1}{2} $, $ x_3 = \frac{1}{3} $, itd.

Sprawdźmy teraz, co dzieje się po zastosowaniu funkcji $ f $:

$$ f(x_1) = f(1) = 2 $$

$$ f(x_2) = f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 $$

$$ f(x_3) = f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} $$

$$ \dots $$

Otrzymujemy nowy ciąg $ (f(x_n)) = (2x_n) $, czyli $ 2, 1, \frac{2}{3}, \dots $, który również zbiega do $ 0 $.

Zatem $ f(x_n) \to f(0) = 0 $, dokładnie tak, jak przewiduje twierdzenie.

Dowód

Pokażemy, że $ f(x_n) \to f(x) $, zakładając ciągłość funkcji $ f $ oraz zbieżność ciągu $ x_n \to x $.

Z definicji ciągłości wynika, że przeciwobraz każdego zbioru otwartego w $ Y $ jest zbiorem otwartym w $ X $.

Wykorzystamy tę własność, aby wykazać, że dla dowolnego otwartego otoczenia punktu $ f(x) $, wyrazy ciągu $ (f(x_n)) $ od pewnego miejsca należą do tego otoczenia.

Krok 1: Otoczenie punktu $ f(x) $

Niech $ U \subset Y $ będzie dowolnym otwartym otoczeniem punktu $ f(x) $.

Chcemy wykazać, że istnieje liczba naturalna $ N $, taka że dla każdego $ n \geq N $ zachodzi $ f(x_n) \in U $.

Krok 2: Przeciwobraz zbioru $ U $

Z ciągłości funkcji $ f $ wynika, że zbiór $ f^{-1}(U) $ jest otwarty w $ X $.

Ponieważ $ f(x) \in U $, mamy $ x \in f^{-1}(U) $.

Krok 3: Zbieżność ciągu $ (x_n) $

Z założenia $ x_n \to x $, więc dla każdego otwartego otoczenia punktu $ x $, w szczególności dla $ f^{-1}(U) $, istnieje liczba naturalna $ N $, taka że $ x_n \in f^{-1}(U) $ dla wszystkich $ n \geq N $.

Krok 4: Wniosek

W konsekwencji dla każdego $ n \geq N $ mamy $ f(x_n) \in U $.

Oznacza to, że $ f(x_n) \to f(x) $, co kończy dowód.

Udowodniliśmy więc, że funkcja ciągła zachowuje granicę ciągu: jeżeli $ x_n \to x $, to $ f(x_n) \to f(x) $.