Caracterização da continuidade por conjuntos fechados
Sejam \( X \) e \( Y \) dois espaços topológicos. Uma aplicação \( f : X \to Y \) é contínua se, e somente se, a imagem inversa de todo conjunto fechado \( C \subseteq Y \) é um conjunto fechado em \( X \).
Este teorema apresenta uma forma alternativa, mas totalmente equivalente, de descrever a continuidade de funções entre espaços topológicos.
Na definição mais comum, uma função é contínua quando a imagem inversa de qualquer conjunto aberto de \( Y \) é um conjunto aberto em \( X \).
No entanto, a continuidade também pode ser caracterizada usando conjuntos fechados. Em outras palavras, uma aplicação \( f : X \to Y \) é contínua se, para todo conjunto fechado \( C \subseteq Y \), a imagem inversa \( f^{-1}(C) \) é um conjunto fechado em \( X \).
Observação : Esta propriedade revela a dualidade entre conjuntos abertos e conjuntos fechados na topologia. Todo conjunto fechado é o complementar de um conjunto aberto, e todo conjunto aberto é o complementar de um conjunto fechado. Por isso, a continuidade pode ser descrita de qualquer uma dessas duas maneiras.
Um exemplo concreto
Considere a função \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definida por
$$ f(x) = x^2 $$
Estamos considerando \( \mathbb{R} \) com a topologia usual, na qual os conjuntos abertos são intervalos abertos ou uniões de intervalos desse tipo.
Para verificar a continuidade usando conjuntos fechados, devemos mostrar que a imagem inversa de qualquer conjunto fechado de \( Y \) é um conjunto fechado em \( X \).
Tomemos como exemplo o conjunto fechado
$$ C = [1, +\infty) \subseteq Y $$
Este conjunto é fechado porque contém o seu extremo inferior.
A imagem inversa de \( C \) pela função \( f \) é
$$ f^{-1}(C) = \{ x \in \mathbb{R} : x^2 \in [1, +\infty) \} $$
Ou seja
$$ f^{-1}(C) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $$
Este subconjunto é fechado em \( \mathbb{R} \), pois é a união de dois conjuntos fechados na topologia usual.
Como a imagem inversa de \( [1, +\infty) \), que é fechado em \( Y \), também é fechada em \( X \), a condição de continuidade é satisfeita neste caso.
Aplicando o mesmo raciocínio a qualquer conjunto fechado de \( Y \), concluímos que a função \( f(x) = x^2 \) é contínua.
Demonstração
A prova desse resultado é feita em duas partes. Primeiro mostramos que toda função contínua preserva a propriedade de ser fechado por meio da imagem inversa. Depois demonstramos o recíproco.
1] (⇒) Se \( f \) é contínua, então a imagem inversa de qualquer conjunto fechado é fechada
Pela definição usual de continuidade, a imagem inversa de qualquer conjunto aberto de \( Y \) é um conjunto aberto em \( X \).
Seja \( C \subseteq Y \) um conjunto fechado. O seu complementar \( Y \setminus C \) é um conjunto aberto em \( Y \).
Como \( f \) é contínua, a imagem inversa
$$ f^{-1}(Y \setminus C) $$
é um conjunto aberto em \( X \).
Além disso, vale a igualdade
$$ f^{-1}(Y \setminus C) = X \setminus f^{-1}(C) $$
Isso ocorre porque a imagem inversa do complementar de um conjunto coincide com o complementar da imagem inversa.
Portanto, se \( X \setminus f^{-1}(C) \) é aberto, então \( f^{-1}(C) \) é fechado em \( X \).
Assim, concluímos que, se \( f \) é contínua, a imagem inversa de qualquer conjunto fechado também é um conjunto fechado.
2] (⇐) Se a imagem inversa de todo conjunto fechado é fechada, então \( f \) é contínua
Suponhamos agora que, para todo conjunto fechado \( C \subseteq Y \), a imagem inversa \( f^{-1}(C) \) seja fechada em \( X \).
Seja \( U \subseteq Y \) um conjunto aberto. O seu complementar \( Y \setminus U \) é um conjunto fechado em \( Y \).
Pela hipótese, o conjunto
$$ f^{-1}(Y \setminus U) $$
é fechado em \( X \).
Mas vale novamente a relação
$$ f^{-1}(Y \setminus U) = X \setminus f^{-1}(U) $$
Logo, \( f^{-1}(U) \) é um conjunto aberto em \( X \).
Isso mostra que a imagem inversa de qualquer aberto de \( Y \) é aberta em \( X \). Portanto, \( f \) é contínua.
3] Conclusão
Demonstramos as duas implicações. Assim, uma aplicação \( f : X \to Y \) é contínua se, e somente se, a imagem inversa de todo conjunto fechado \( C \subseteq Y \) é um conjunto fechado em \( X \).
Com isso, a demonstração está concluída.
