Caracterização sequencial da continuidade

Seja $ f : X \to Y $ uma função contínua e seja $ (x_n) $ uma sequência em $ X $ que converge para um ponto $ x $. Então, a sequência de imagens $ f(x_1), f(x_2), \dots $ converge para $ f(x) $ em $ Y $.

Em termos simples, uma função contínua mantém o comportamento de convergência das sequências. Se os valores de entrada se aproximam de um ponto, os valores de saída também se aproximam da imagem desse ponto.

Assim, quando os termos de $ (x_n) $ se aproximam de $ x $, as imagens $ f(x_n) $ aproximam-se de $ f(x) $.

Exemplo ilustrativo
Demonstração

Exemplo ilustrativo

Considere a função $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ definida por $ f(x) = 2x $ e a sequência $ x_n = \frac{1}{n} $, com $ n \in \mathbb{N} $.

A sequência $ (x_n) $ converge para $ 0 $ quando $ n \to \infty $.

Os primeiros termos são: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = \frac{1}{2} $, $ x_3 = \frac{1}{3} $, e assim por diante.

À medida que $ n $ cresce, os valores de $ x_n $ ficam cada vez menores e se aproximam de zero.

Agora vamos calcular a imagem de cada termo pela função $ f $:

$$ f(x_1) = f(1) = 2 $$

$$ f(x_2) = f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 $$

$$ f(x_3) = f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} $$

$$ \dots $$

A nova sequência $ f(x_n) = 2x_n $ é: $ 2, 1, \frac{2}{3}, \dots $, e também converge para $ 0 $.

Ou seja, temos $ f(x_n) \to f(0) = 0 $, exatamente como prevê o teorema.

Este exemplo mostra claramente como a continuidade garante que o limite é preservado.

Demonstração

Vamos mostrar que $ f(x_n) \to f(x) $, supondo que $ f $ é contínua e que $ x_n \to x $ em $ X $.

A ideia central é a seguinte: uma função contínua transforma conjuntos abertos em conjuntos abertos quando consideramos a imagem inversa.

Isso significa que a imagem inversa de qualquer aberto de $ Y $ é um aberto de $ X $.

Vamos usar essa propriedade para provar que os termos da sequência transformada se aproximam de $ f(x) $.

Etapa 1: Escolher uma vizinhança de $ f(x) $

Seja $ U $ uma vizinhança aberta de $ f(x) $ em $ Y $.

Queremos mostrar que, a partir de certo ponto, todos os termos $ f(x_n) $ pertencem a $ U $.

Etapa 2: Voltar ao domínio usando a continuidade

Como $ f $ é contínua, a imagem inversa $ f^{-1}(U) $ é um aberto de $ X $.

Além disso, como $ f(x) \in U $, segue que $ x \in f^{-1}(U) $.

Etapa 3: Usar a convergência de $ x_n $

Sabemos que $ x_n \to x $. Portanto, para qualquer vizinhança aberta de $ x $, em particular $ f^{-1}(U) $, existe um índice $ N $ tal que todos os termos a partir de $ x_N $ pertencem a esse conjunto.

Etapa 4: Concluir no contradomínio

Isso implica que, para todo $ n \geq N $, temos $ x_n \in f^{-1}(U) $, e portanto $ f(x_n) \in U $.

Concluímos assim que $ f(x_n) \to f(x) $.

Em resumo, a continuidade garante que o limite de uma sequência é preservado pela função: se $ x_n \to x $, então $ f(x_n) \to f(x) $.