Continuidade da aplicação de inclusão em espaços topológicos

Sejam $ X $ um espaço topológico e $ Y $ um subconjunto de $ X $. A aplicação de inclusão $ f : Y \to X $ é definida por $ f(y) = y $ para todo $ y \in Y $. Trata-se de uma aplicação contínua.

A aplicação de inclusão associa a cada elemento de $ Y $ exatamente esse mesmo elemento, agora considerado como pertencente ao espaço maior $ X $ que o contém.

Em termos práticos, a função $ f $ não altera os pontos de $ Y $. Ela apenas os interpreta dentro do contexto do espaço ambiente $ X $.

Do ponto de vista topológico, essa passagem de $ Y $ para $ X $ ocorre de forma contínua.

Observação : A aplicação de inclusão não deve ser confundida com a aplicação identidade. Embora ambas utilizem a mesma regra de atribuição, a inclusão relaciona dois espaços distintos, um subconjunto e o espaço total, enquanto a identidade atua apenas dentro de um único espaço.

Por que ela é contínua?

Em topologia, uma aplicação é dita contínua quando a imagem inversa de qualquer conjunto aberto é também um conjunto aberto. Ou seja, para todo aberto $ U \subset X $, o conjunto $ f^{-1}(U) $ deve ser aberto em $ Y $.

Pela definição da topologia induzida, os abertos de $ Y $ são precisamente os conjuntos obtidos pela interseção de $ Y $ com os abertos de $ X $.

$$ f^{-1}(U) = U \cap Y $$

Assim, sempre que $ U $ é aberto em $ X $, a interseção $ U \cap Y $ é automaticamente um aberto de $ Y $. Isso garante, de forma imediata, que a aplicação de inclusão é contínua.

Observação : Essa propriedade mostra que a topologia induzida em $ Y $ é construída exatamente para que a aplicação de inclusão seja contínua por definição.

Um exemplo concreto

Consideremos o espaço topológico $ X = \mathbb{R} $, a reta real, e o seu subconjunto $ Y = (0, 1) $, o intervalo aberto entre 0 e 1.

A aplicação de inclusão $ f : Y \to X $ é dada por $ f(y) = y $ para todo $ y \in Y $.

$$ f(y) = y \quad \text{para todo} \quad y \in (0,1) $$

Intuitivamente, isso significa que os pontos do intervalo $ (0, 1) $ são simplesmente vistos como pontos da reta real $ \mathbb{R} $.

No contexto da topologia induzida, para qualquer aberto $ U \subset X $, a interseção $ U \cap Y $ é um aberto de $ Y $.

Por exemplo, consideremos o intervalo aberto $ U = (-1, 0{,}5) \subset \mathbb{R} $, com a topologia usual.

exemplo de aplicação de inclusão

A interseção desse conjunto com $ Y = (0, 1) $ é:

$$ U \cap Y = (-1, 0{,}5) \cap (0, 1) = (0, 0{,}5) $$

O resultado é um intervalo aberto em $ Y $, de acordo com a topologia induzida.

Portanto, como para todo aberto $ U \subset X $ a interseção $ U \cap Y $ é aberta em $ Y $, conclui-se que a aplicação de inclusão $ f : Y \to X $ é contínua.

E o mesmo raciocínio se aplica em situações análogas.