Continuidade na topologia quociente
Na topologia quociente, uma função sobrejetiva \( f: X \to A \) é contínua por definição. Um subconjunto \( V \subseteq A \) é aberto se, e somente se, a sua preimagem \( f^{-1}(V) \) for aberta em \( X \).
Considere um espaço topológico \( X \) e uma função sobrejetiva \( f: X \to A \), onde \( A \) é um conjunto qualquer, não necessariamente contido em \( X \). A ideia central da topologia quociente é simples e poderosa: transferir a noção de aberto de \( X \) para \( A \) por meio da função \( f \).
A topologia quociente em \( A \) é introduzida precisamente para assegurar a continuidade de \( f \). Em vez de escolher abertos em \( A \) de forma arbitrária, eles são definidos com base no comportamento de suas preimagens em \( X \).
Com efeito, um subconjunto \( V \subseteq A \) é declarado aberto exatamente quando \( f^{-1}(V) \) é aberto em \( X \). Como consequência direta, a função \( f \) satisfaz automaticamente a definição de continuidade.
Nota: A continuidade de \( f \) não é uma propriedade adicional a ser verificada. Ela já está incorporada na própria definição da topologia quociente.
Um exemplo prático
Tomemos o conjunto \( X = \{a, b, c\} \), munido de uma topologia, e o conjunto \( A = \{1, 2\} \).
Definimos uma função sobrejetiva \( f: X \to A \) da seguinte forma:
- \( f(a) = f(b) = 1 \)
- \( f(c) = 2 \).
Nesse caso, os elementos \( a \) e \( b \) são identificados no mesmo ponto de \( A \). A função “cola” esses dois pontos em uma única imagem.
Na topologia quociente, um conjunto \( V \subseteq A \) será aberto quando a sua preimagem \( f^{-1}(V) \) for um aberto de \( X \).
Por exemplo, ao considerar \( V = \{1\} \subseteq A \), obtemos \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \). Se \( \{a, b\} \) for aberto em \( X \), então \( \{1\} \) será aberto em \( A \).
Os conjuntos abertos em \( A \), determinados por essa regra, são:
\( \emptyset \), \( \{1,2\} \), \( \{1\} \) e \( \{2\} \).
- \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \), aberto em qualquer topologia
- \( f^{-1}(\{1,2\}) = X \), aberto em \( X \)
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \), aberto em \( X \)
- \( f^{-1}(\{2\}) = \{c\} \), aberto em \( X \)
Esse exemplo ilustra claramente o mecanismo da topologia quociente. Os abertos em \( A \) não são escolhidos diretamente, mas herdados de \( X \) através de \( f \).
Em síntese, a continuidade de \( f \) é garantida pela própria construção da topologia quociente em \( A \).
E assim por diante.
