Definição de continuidade por conjuntos abertos

Uma função $ f : X \to Y $ é contínua se, e somente se, para todo ponto $ x \in X $ e todo conjunto aberto $ U \subset Y $ que contenha $ f(x) $, existe uma vizinhança $ V $ de $ x $ tal que $ f(V) \subset U $.

Essa é a chamada definição topológica de continuidade. Ela expressa a ideia de que a função preserva a estrutura dos conjuntos abertos: sempre que tomamos um aberto no contradomínio, sua imagem inversa no domínio também é um aberto.

De forma equivalente, podemos dizer que uma função $ f : X \to Y $ é contínua quando, para todo aberto $ U \subset Y $, o conjunto $ f^{-1}(U) $ é aberto em $ X $.

ilustração da continuidade definida por conjuntos abertos

Em termos diretos: a imagem inversa de qualquer aberto do contradomínio é um aberto no domínio. Essa formulação não depende de distâncias nem de limites numéricos, mas apenas da estrutura topológica dos espaços envolvidos.

Observação : Esse resultado também é conhecido como equivalência das definições de continuidade, pois conecta a definição topológica com a definição analítica baseada em $\varepsilon$-$\delta$. Na linguagem do cálculo, dizemos que uma função $ f $ é contínua em $ x_0 \in \mathbb{R} $ se, para todo $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que, para todo $ x \in \mathbb{R} $, se $ |x - x_0| < \delta $, então $ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon $. Embora as abordagens sejam diferentes, elas são matematicamente equivalentes.

A continuidade também pode ser caracterizada por conjuntos fechados: uma função é contínua se a imagem inversa de todo conjunto fechado é fechada. Como abertos e fechados são noções complementares na topologia, ambas as formulações descrevem a mesma propriedade.

Um exemplo concreto
Demonstração da equivalência

Um exemplo concreto

Considere a função $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ definida por $ f(x) = x^2 $.

Vamos verificar sua continuidade utilizando a definição por conjuntos abertos.

Escolha um aberto do contradomínio, por exemplo $ U = (1, 4) $, o intervalo dos números reais estritamente entre 1 e 4.

intervalo aberto de exemplo nos números reais

Primeiro, determinamos a imagem inversa desse conjunto. Procuramos todos os $ x \in \mathbb{R} $ tais que $ x^2 \in (1, 4) $.

Isso significa resolver a desigualdade:

$$ 1 < x^2 < 4 $$

O que é equivalente a:

$$ 1 < |x| < 2 $$

Portanto,

$ x \in (-2, -1) \cup (1, 2) $,

que é um conjunto aberto em $ \mathbb{R} $. Logo, $ f^{-1}(U) $ é aberto.

Agora escolhamos um ponto específico, por exemplo $ x = 1{,}5 $, que pertence a $ f^{-1}(U) $.

Calculamos:

$$ f(1{,}5) = 2{,}25 $$

Como $ 2{,}25 \in (1, 4) $, o ponto está corretamente associado ao aberto escolhido.

verificação pontual da continuidade no gráfico da função quadrática

Buscamos então uma vizinhança de $ 1{,}5 $, por exemplo:

$ V = (1{,}4, 1{,}6) $.

vizinhança aberta em torno do ponto 1,5

Calculamos as imagens das extremidades:

$$ f(1{,}4) = 1{,}96 \quad \text{e} \quad f(1{,}6) = 2{,}56 $$

Assim,

$ f(V) = (1{,}96, 2{,}56) \subset (1, 4) $.

Isso mostra que existe uma vizinhança de $ x $ cuja imagem permanece dentro de $ U $. Esse raciocínio vale para qualquer ponto do domínio. Portanto, concluímos que a função $ f(x) = x^2 $ é contínua em todo $ \mathbb{R} $.

Observação : A continuidade deve ser verificada em todos os pontos do domínio, e não apenas em um caso isolado. Trata-se de uma propriedade global. No caso de $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, é necessário garantir que, para todo $ x \in \mathbb{R} $ e todo aberto que contenha $ f(x) $, exista uma vizinhança de $ x $ cuja imagem esteja contida nesse aberto.

Demonstração da equivalência

A equivalência entre as duas formulações pode ser demonstrada em duas etapas.

A] Da definição por abertos para a definição por vizinhanças

Suponha que $ f $ seja contínua no sentido topológico, isto é, que a imagem inversa de todo aberto seja aberta.

Dado um ponto $ x \in X $ e um aberto $ U \subset Y $ que contenha $ f(x) $, considere $ V = f^{-1}(U) $.

Como $ f $ é contínua, $ V $ é aberto em $ X $. Além disso, $ x \in V $ e, por definição, $ f(V) \subset U $. Logo, existe uma vizinhança de $ x $ cuja imagem está contida em $ U $.

B] Da definição por vizinhanças para a definição por abertos

Suponha agora que, para todo ponto $ x \in X $ e todo aberto $ U \subset Y $ contendo $ f(x) $, exista uma vizinhança $ V $ de $ x $ tal que $ f(V) \subset U $.

Queremos mostrar que, para qualquer aberto $ W \subset Y $, o conjunto $ f^{-1}(W) $ é aberto em $ X $.

Seja $ x \in f^{-1}(W) $, isto é, $ f(x) \in W $. Pela hipótese, existe uma vizinhança $ V_x $ de $ x $ tal que $ f(V_x) \subset W $. Isso implica que $ V_x \subset f^{-1}(W) $.

Assim, cada ponto de $ f^{-1}(W) $ possui uma vizinhança aberta contida nesse conjunto. Portanto, $ f^{-1}(W) $ é aberto em $ X $.

Conclusão

As duas formulações são rigorosamente equivalentes. A continuidade pode ser definida tanto em termos de imagem inversa de abertos quanto em termos de vizinhanças, e ambas capturam a mesma ideia fundamental: a função preserva a estrutura topológica dos espaços.