Lema da colagem

Seja \( X \) um espaço topológico, e sejam \( A \) e \( B \) dois subconjuntos fechados cuja união coincide com todo o espaço, isto é, \( A \cup B = X \). Suponha que as aplicações \( f : A \to Y \) e \( g : B \to Y \) sejam contínuas para um espaço topológico \( Y \) e que coincidam na interseção \( A \cap B \), ou seja, \( f(x) = g(x) \) para todo \( x \in A \cap B \). Nessas condições, a função \( h : X \to Y \) definida por: $$ h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{se } x \in A, \\ g(x) & \text{se } x \in B, \end{cases} $$ é contínua.

Em termos intuitivos, sob hipóteses apropriadas, é possível "colar" duas aplicações contínuas de modo a obter uma nova aplicação que permanece contínua em todo o domínio.

Mais precisamente, quando duas funções contínuas \( f : A \to Y \) e \( g : B \to Y \) estão definidas em subconjuntos que se recobrem e coincidem na interseção, elas podem ser reunidas em uma única aplicação \( h \), contínua em \( A \cup B \).

Um exemplo concreto

Consideremos duas funções definidas em intervalos fechados:

• \( f : [0, 1] \to \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = x \), contínua em \( [0, 1] \);
• \( g : [1, 2] \to \mathbb{R} \), definida por \( g(x) = 2 - x \), contínua em \( [1, 2] \).

Verifiquemos as hipóteses do lema da colagem:

1. Conjuntos fechados: Os intervalos \( [0, 1] \) e \( [1, 2] \) são conjuntos fechados em \( \mathbb{R} \).
2. Cobertura: A união desses intervalos é o intervalo \( [0, 2] \), de modo que \( A \cup B = [0, 2] \).
3. Coincidência na interseção: A interseção reduz-se ao conjunto \( \{1\} \). Verifiquemos que \( f(1) = g(1) \):
   - \( f(1) = 1 \)
   - \( g(1) = 2 - 1 = 1 \)
   Portanto, \( f(1) = g(1) = 1 \), o que satisfaz a condição de coincidência em \( A \cap B \).

Assim, todas as hipóteses do lema estão satisfeitas.

Definimos então a aplicação \( h : [0, 2] \to \mathbb{R} \) por:

$$ h(x) = \begin{cases} f(x) = x & \text{se } x \in [0, 1], \\ g(x) = 2 - x & \text{se } x \in [1, 2]. \end{cases} $$

Afirmamos que \( h \) é contínua, pois:

• em \( [0, 1] \), vale \( h(x) = f(x) = x \), que é uma função contínua;
• em \( [1, 2] \), tem-se \( h(x) = g(x) = 2 - x \), igualmente contínua;
• no ponto \( x = 1 \), as duas expressões coincidem, já que \( f(1) = g(1) = 1 \), garantindo a continuidade no ponto de colagem.

Consequentemente, \( h \) é contínua em todo o intervalo \( [0, 2] \).

A função \( h(x) \) é formada por dois segmentos lineares:

• em \( [0, 1] \), \( h(x) = x \), uma reta estritamente crescente;
• em \( [1, 2] \), \( h(x) = 2 - x \), uma reta estritamente decrescente.

Esses dois segmentos unem-se de maneira contínua no ponto \( x = 1 \).

Demonstração

Para demonstrar a continuidade de \( h \), pode-se recorrer ao seguinte critério topológico: a imagem inversa de qualquer conjunto fechado de \( Y \) pela aplicação \( h \) é um conjunto fechado de \( X \).

Em outras palavras, se \( C \subseteq Y \) é um conjunto fechado, então \( h^{-1}(C) \) deve ser fechado em \( X \).

Como \( h \) é definida por partes, a partir de \( f \) em \( A \) e de \( g \) em \( B \), podemos escrever:

$$ h^{-1}(C) = f^{-1}(C) \cup g^{-1}(C). $$

De fato:

• como \( f \) é contínua, \( f^{-1}(C) \) é um conjunto fechado em \( A \);
• como \( g \) é contínua, \( g^{-1}(C) \) é um conjunto fechado em \( B \).

Além disso, como \( A \) e \( B \) são subconjuntos fechados de \( X \), todo conjunto relativamente fechado em \( A \) ou em \( B \) é também fechado em \( X \).

Segue-se que \( h^{-1}(C) \), sendo a união de dois conjuntos fechados de \( X \), é fechado em \( X \).

Conclui-se, portanto, que \( h \) é contínua em todo o espaço \( X \), o que estabelece o lema da colagem.

E assim por diante.