Teorema da composição de funções contínuas
Se \( f : X \to Y \) e \( g : Y \to Z \) são duas aplicações contínuas, então a composição \( g \circ f : X \to Z \) também é contínua.
Este teorema afirma que, ao compor duas funções contínuas \( f \) e \( g \), com:
- \( f : X \to Y \)
- \( g : Y \to Z \)
a função composta \( g \circ f \), obtida aplicando primeiro \( f \) e depois \( g \), permanece contínua.
Em outras palavras, a composição de duas funções contínuas produz sempre uma função contínua.
Exemplo ilustrativo
Consideremos um exemplo concreto da composição \( g \circ f(x) \), em que \( f \) é a função aplicada primeiro (função interior) e \( g \) é aplicada em seguida (função exterior).
$$ f(x) = x^2 \quad \text{definida em} \quad \mathbb{R} $$
$$ g(y) = \frac{y}{2} \quad \text{definida em} \quad \mathbb{R} $$
Essas duas funções são contínuas no conjunto \( \mathbb{R} \).
Queremos verificar se a função composta \( g \circ f(x) \) é contínua em \( \mathbb{R} \).
Consideremos o intervalo aberto \( (-2, 2) \subset \mathbb{R} \).
A imagem desse intervalo pela função \( f \) é o intervalo \( (0, 4) \), pois \( f(x) = x^2 \) assume apenas valores estritamente positivos nesse domínio.
Esse novo intervalo passa então a constituir o conjunto de entrada da função \( g \). Em outras palavras, a imagem de \( f \) está inteiramente contida no domínio de definição de \( g \).
A imagem de \( (0, 4) \) pela função \( g \) é o intervalo \( (0, 2) \), que continua sendo um conjunto aberto.
Consequentemente, a imagem inversa de \( (0, 2) \) pela função composta \( g \circ f(x) = \frac{x^2}{2} \) também é um aberto.
Esse resultado mostra que a função composta satisfaz a condição de continuidade nesse intervalo.
Como esse raciocínio pode ser generalizado para qualquer aberto de \( \mathbb{R} \), concluímos que \( g \circ f \) é contínua em todo \( \mathbb{R} \).
Demonstração rigorosa
Apresentemos agora uma demonstração formal de que a composição de duas funções contínuas também é contínua.
- \( f : X \to Y \)
- \( g : Y \to Z \)
Seja \( U \subseteq Z \) um conjunto aberto. Para demonstrar que \( g \circ f \) é contínua, é necessário provar que a imagem inversa \( (g \circ f)^{-1}(U) \) é um aberto de \( X \).
Como \( g \) é contínua, sabemos que \( g^{-1}(U) \) é um aberto de \( Y \).
Além disso, como \( f \) também é contínua, a imagem inversa \( f^{-1}(g^{-1}(U)) \) é um aberto em \( X \).
Ora, essa imagem inversa composta é precisamente \( (g \circ f)^{-1}(U) \), o que mostra que ela é um aberto em \( X \).
Concluímos, portanto, que \( g \circ f \) satisfaz a definição de continuidade: a imagem inversa de qualquer conjunto aberto é um aberto.
