Teorema da continuidade e o fecho de um conjunto
Seja \( f : X \to Y \) uma aplicação contínua e seja \( A \subset X \). Se um ponto \( x \in X \) pertence ao fecho de \( A \), isto é, \( x \in Cl(A) \), então a sua imagem \( f(x) \) pertence ao fecho da imagem de \( A \), ou seja, \( f(x) \in Cl(f(A)) \).
Este resultado expressa uma ideia central da Topologia: funções contínuas preservam relações de proximidade. Se um ponto está arbitrariamente próximo de um conjunto, a sua imagem também estará arbitrariamente próxima da imagem desse conjunto.
Em termos intuitivos, a continuidade impede "saltos". A estrutura de vizinhanças ao redor dos pontos é mantida quando aplicamos a função.
Exemplo ilustrativo
Considere a aplicação contínua \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = x^2 \), no espaço topológico \( X = \mathbb{R} \), e o conjunto \( A = (0, 2) \subseteq \mathbb{R} \).
$$ A = (0,2) $$
O fecho de \( A \) é \( Cl(A) = [0, 2] \). Ele inclui os pontos de fronteira \( 0 \) e \( 2 \), que não pertencem ao intervalo aberto, mas podem ser aproximados por pontos de \( A \).
$$ Cl(A) = [0,2] $$
A imagem de \( A \) por \( f \) é \( f(A) = (0, 4) \), pois o quadrado de números entre \( 0 \) e \( 2 \) assume valores estritamente entre \( 0 \) e \( 4 \).
$$ f(A) = (0,4) $$
O fecho da imagem é \( Cl(f(A)) = [0, 4] \), que contém os extremos \( 0 \) e \( 4 \), valores limite de \( f(x) \) quando \( x \) tende às extremidades de \( A \).
$$ Cl(f(A)) = [0,4] $$
O teorema afirma que todo ponto \( x \in Cl(A) \) satisfaz \( f(x) \in Cl(f(A)) \).
- Para \( x = 0 \in Cl(A) \), temos \( f(0) = 0 \in Cl(f(A)) \).
- Para \( x = 2 \in Cl(A) \), temos \( f(2) = 4 \in Cl(f(A)) \).
- Para qualquer \( x \in (0, 2) \subset Cl(A) \), também ocorre \( f(x) \in Cl(f(A)) \).
O comportamento da função confirma exatamente o que o teorema prevê.
Demonstração
Seja \( f : X \to Y \) uma aplicação contínua, com \( x \in X \) e \( A \subset X \).
Admita, por absurdo, que \( f(x) \notin Cl(f(A)) \).
$$ f(x) \notin Cl(f(A)) $$
Pela definição de fecho, existe um aberto \( B \subseteq Y \) tal que \( f(x) \in B \) e \( B \cap f(A) = \emptyset \).
Isso significa que há uma vizinhança aberta de \( f(x) \) que não intercepta \( f(A) \). Logo, \( f(x) \) não é aderente a \( f(A) \).
Como \( f \) é contínua, a imagem recíproca \( f^{-1}(B) \) é um aberto de \( X \) que contém \( x \).
Além disso, da condição \( B \cap f(A) = \emptyset \) segue que \( f^{-1}(B) \cap A = \emptyset \).
Portanto, existe um aberto de \( X \) que contém \( x \) e é disjunto de \( A \), o que contradiz a hipótese \( x \in Cl(A) \).
A suposição inicial é falsa. Conclui-se que \( f(x) \in Cl(f(A)) \).
Observação : A prova utiliza uma propriedade fundamental das aplicações contínuas: a imagem recíproca de um conjunto aberto é sempre aberta. É essa ligação entre abertos que permite transportar a noção de proximidade de \( Y \) para \( X \).
Com isso, a demonstração está completa.
