Uma função contínua não é necessariamente uma aplicação aberta
Uma função contínua \( f : X \to Y \) não transforma, em geral, os conjuntos abertos de \( X \) em conjuntos abertos de \( Y \).
Na topologia, a continuidade não garante que os abertos sejam preservados pela função. Essa característica é própria das chamadas aplicações abertas.
Por isso, é importante ter claro desde o início: uma função contínua não é, em geral, uma aplicação aberta.
O que é uma aplicação aberta? Uma aplicação aberta \( f : X \to Y \) é uma função que envia todo conjunto aberto de \( X \) para um conjunto aberto de \( Y \).
Em outras palavras, o simples fato de uma função ser contínua não assegura que a imagem de um aberto do domínio continue sendo um aberto no contradomínio.
Um exemplo concreto
Considere a função \( f(x) = x^2 \), que é contínua em todo \( \mathbb{R} \).
Tomemos o conjunto aberto \( (-2, 2) \subset \mathbb{R} \), formado por todos os números reais estritamente entre \( -2 \) e \( 2 \).
Apliquemos a função \( f = x^2 \) a esse conjunto.
$$ f(-2) = (-2)^2 = 4 \\ f(0) = 0^2 = 0 \\ f(2) = 2^2 = 4 $$
A imagem de \( (-2, 2) \) pela função \( f(x) = x^2 \) é o intervalo \( [0, 4) \), que não é um conjunto aberto de \( \mathbb{R} \).
De fato, embora o ponto \( 0 \) pertença à imagem, não existe nenhuma vizinhança de \( 0 \) inteiramente contida em \( [0, 4) \), pois \( 0 \) é um extremo fechado do intervalo.
Esse exemplo evidencia que, mesmo sendo contínua, a função \( f(x) = x^2 \) não preserva necessariamente a abertura dos conjuntos, contrariando uma expectativa intuitiva bastante comum.
Assim, apesar de ser contínua em todo \( \mathbb{R} \), a função \( f(x) = x^2 \) não é uma aplicação aberta.
Diferença entre funções contínuas e aplicações abertas
As noções de continuidade e de abertura diferem essencialmente na forma como tratam os conjuntos abertos.
- Função contínua (no sentido topológico)
Uma função \( f : X \to Y \) é contínua se a pré-imagem de todo conjunto aberto de \( Y \) é um conjunto aberto em \( X \). Em outras palavras, para cada aberto \( U \subset Y \), o conjunto \( f^{-1}(U) \) deve ser um aberto de \( X \).A continuidade descreve o comportamento da função ao "puxar de volta" abertos do contradomínio para o domínio. Ela se refere exclusivamente às pré-imagens de conjuntos abertos, sem impor qualquer condição sobre as imagens diretas.
- Aplicações abertas (funções abertas)
Uma função \( f : X \to Y \) é dita aberta se envia cada conjunto aberto de \( X \) para um conjunto aberto de \( Y \). Isto é, para todo aberto \( V \subset X \), a imagem \( f(V) \) deve ser um aberto de \( Y \).A abertura, por sua vez, foca no comportamento direto dos abertos do domínio, exigindo que a sua imagem seja também um aberto no contradomínio. Ela não estabelece nenhuma condição sobre as pré-imagens.
Em resumo, a continuidade trata da passagem dos abertos do contradomínio para o domínio, enquanto a abertura diz respeito à projeção direta dos abertos do domínio para o contradomínio. São propriedades distintas, que atuam em direções opostas e desempenham papéis diferentes na topologia.
E assim por diante.
