Cómo determinar el interior de un conjunto en R

Para determinar el interior de un conjunto dentro de un espacio topológico, utilizando la topología estándar, puedo escribir un pequeño script en R.

Por ejemplo, definamos dos conjuntos abiertos, A y B.

A <- c(1, 3)
B <- c(0, 4)

Estos representan dos intervalos abiertos de números reales.

El conjunto A corresponde al intervalo (1,3).

> cat("Interval A:", A, "\n")

Interval A: 1 3

De manera análoga, el conjunto B corresponde al intervalo (0,4).

> cat("Interval B:", B, "\n")

Interval B: 0 4

A continuación, definimos una función para calcular el interior de estos conjuntos.

En topología, el interior de un conjunto se define como la unión de todos los abiertos contenidos en él.

internal <- function(interval) {
c(interval[1] + 0.00001, interval[2] - 0.00001)
}

Utilizando la función que acabamos de definir, podemos obtener el interior de los conjuntos A y B.

Int_A <- internal(A)

Int_B <- internal(B)

Ahora, veamos los resultados.

El interior del conjunto A (1,3) es la unión de todos los abiertos contenidos en A, lo cual nos da int(A) = (1,3).

> cat("Interior of A:", Int_A, "\n")

Interior of A: 1.00001 2.99999

El interior del conjunto B (0,4) es la unión de todos los abiertos contenidos en B, por lo que int(B) = (0,4).

> cat("Interior of B:", Int_B, "\n")

Interior of B: 1e-05 3.99999

Según una propiedad del interior de los conjuntos, si A es subconjunto de B, entonces el interior de A también está contenido en el interior de B.

$$ A \subseteq B \Longrightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Esto también puede verificarse en R.

cat("Int(A) is contained in Int(B):", all(Int_A >= Int_B[1] & Int_A <= Int_B[2]), "\n")

Int(A) is contained in Int(B): TRUE

La salida de este script confirma que el interior de \( A \) está efectivamente contenido en el interior de \( B \).

Y así sucesivamente.