La clausura de un conjunto es la unión del conjunto con sus puntos de acumulación
La clausura de un conjunto \( A \) en un espacio topológico \( X \), denotada por \(\text{Cl}(A)\), se define como la unión del conjunto \( A \) con el conjunto \( A' \) de sus puntos de acumulación: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Este resultado proporciona una caracterización fundamental de la clausura de un subconjunto \( A \) en un espacio topológico \((X, \tau)\).
La clausura de un conjunto \( A \) incluye todos los puntos que, en sentido topológico, se encuentran “arbitrariamente cerca” de \( A \).
Conviene recordar que los puntos de acumulación no tienen por qué pertenecer a \( A \).
A partir de este teorema, se deduce que un conjunto \( A \) es cerrado si, y solo si, contiene todos sus puntos de acumulación. $$ A \text{ es cerrado } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ En otras palabras, un conjunto es cerrado si y solo si coincide con su clausura.
Ejemplo ilustrativo
Sea \( A = (0, 1) \) un subconjunto de \( \mathbb{R} \), dotado de la topología usual.
$$ A = (0,1) $$
Este conjunto está formado por todos los números reales estrictamente comprendidos entre 0 y 1.
Identifiquemos ahora sus puntos de acumulación:
- Cada punto \( x \in (0,1) \) es un punto de acumulación, ya que cualquier vecindad abierta de \( x \) contiene otros puntos del conjunto \( A \).
- El punto \( 0 \) también es de acumulación, puesto que cualquier entorno del tipo \( (0, \varepsilon) \) con \( \varepsilon > 0 \) contiene elementos de \( A \).
- Análogamente, \( 1 \) es punto de acumulación de \( A \), ya que todo intervalo abierto que lo contenga contiene también puntos del conjunto.
Por tanto, el conjunto \( A' \) de puntos de acumulación de \( A \) es:
$$ A' = [0,1] $$
La unión de \( A = (0,1) \) con sus puntos de acumulación es:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Dado que \( \text{Cl}(A) \ne A \), concluimos que \( A \) no es cerrado en la topología usual:
$$ A \ne \text{Cl}(A) $$
Ejemplo 2
Consideremos ahora el conjunto \( B = [0, 1] \), también en \( \mathbb{R} \) con la topología estándar.
$$ B = [0,1] $$
Este conjunto contiene todos los números reales \( x \) tales que \( 0 \leq x \leq 1 \).
Identifiquemos sus puntos de acumulación:
- Todo punto \( x \in (0,1) \) es punto de acumulación, ya que cualquier entorno abierto suyo contiene otros elementos de \( B \).
- Los extremos \( 0 \) y \( 1 \) también lo son, pues toda vecindad suya intersecta el intervalo en puntos distintos del propio extremo.
Así, el conjunto de puntos de acumulación de \( B \) es:
$$ B' = [0, 1] $$
Calculamos ahora la clausura de \( B \):
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] \cup [0,1] = [0,1] $$
En este caso, el conjunto coincide con su clausura, lo que demuestra que \( B \) es cerrado:
$$ B = \text{Cl}(B) = [0,1] $$
Este ejemplo confirma que un conjunto es cerrado si, y solo si, coincide con su clausura.
Demostración formal
Vamos a demostrar que, para todo subconjunto \( A \subseteq X \), se cumple: \( \text{Cl}(A) = A \cup A' \), donde \( A' \) denota el conjunto de puntos de acumulación de \( A \).
Recordemos las definiciones clave:
- Clausura de \( A \): es la intersección de todos los cerrados que contienen a \( A \).
- Punto de acumulación: un punto \( x \in X \) es de acumulación de \( A \) si toda vecindad suya contiene algún punto de \( A \setminus \{x\} \).
1] \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
Como \( \text{Cl}(A) \) es un cerrado que contiene a \( A \), se tiene inmediatamente que: $$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$
Sea ahora \( x \in A' \). Por definición, toda vecindad de \( x \) intersecta \( A \setminus \{x\} \). Si supusiéramos que \( x \notin \text{Cl}(A) \), existiría una vecindad \( U \) tal que \( U \cap \text{Cl}(A) = \emptyset \), y por tanto también \( U \cap A = \emptyset \), lo cual contradice que \( x \in A' \).
Por lo tanto, necesariamente \( x \in \text{Cl}(A) \), y se deduce que:
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
Combinando ambas inclusiones:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
Sea \( x \in \text{Cl}(A) \). Si \( x \in A \), entonces trivialmente \( x \in A \cup A' \).
Supongamos ahora que \( x \notin A \). Como \( x \in \text{Cl}(A) \), toda vecindad de \( x \) debe intersectar \( A \), es decir, \( x \) cumple la condición de ser punto de acumulación.
Por tanto, \( x \in A' \), y se concluye que:
$$ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
3] Conclusión
Como se ha demostrado que:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \quad \text{y} \quad \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
se concluye que:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Q.E.D.
