El cierre de un conjunto es la unión del conjunto con sus puntos límite

El cierre de un conjunto \( A \) en un espacio topológico \( X \), denotado por \(\text{Cl}(A)\), corresponde a la unión del conjunto \( A \) con el conjunto \( A' \) de sus puntos límite. $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$

Este teorema formaliza el concepto de cierre de un subconjunto \( A \) en un espacio topológico \((X, \tau)\).

El cierre de un conjunto \( A \) abarca todos los puntos que están “próximos” a \( A \) en el sentido topológico.

Conviene recordar que los puntos límite no tienen por qué pertenecer al conjunto \( A \).

De este resultado se deduce que un conjunto \( A \) es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos límite. $$ A \text{ es cerrado } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ Es decir, un conjunto es cerrado precisamente cuando coincide con su cierre.

Un ejemplo concreto

Consideremos el conjunto \( A = (0, 1) \) dentro del espacio euclídeo \(\mathbb{R}\) provisto de la topología estándar.

$$ A = (0,1) $$

Este conjunto contiene todos los números reales estrictamente comprendidos entre 0 y 1, excluyendo los extremos.

Identifiquemos ahora sus puntos límite:

• Cualquier punto \( x \) en el intervalo (0,1) es un punto límite, ya que cualquier entorno abierto de \( x \), del tipo (x-ε, x+ε), contiene otros puntos de \( A \).
• El punto 0 es un punto límite de \( A \) porque todo entorno abierto que lo contenga, como (0,0+ε), intersecta \( A \).
• Del mismo modo, 1 también es un punto límite de \( A \), ya que cualquier entorno de 1, como (1-ε,1), contiene puntos de \( A \).

Por lo tanto, el conjunto \( A' \) de puntos límite de \( A \) es:

$$ A' = [0,1] $$

La unión del conjunto \( A = (0,1) \) con su conjunto de puntos límite \( A' = [0,1] \) constituye su cierre:

$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$

Como el conjunto original no incluye sus puntos límite extremos, su cierre no coincide con él. Por tanto, \( A \) no es cerrado en esta topología.

$$ A \ne \text{Cl}(A) $$

Ejemplo 2

Veamos ahora el conjunto \( B = [0, 1] \) en el espacio de los números reales \( \mathbb{R} \) con la topología usual.

$$ B = [0,1] $$

Se trata del intervalo cerrado que contiene todos los reales \( x \) tales que \( 0 \leq x \leq 1 \).

Analicemos sus puntos límite.

Un punto \( x \) es límite de \( B \) si todo entorno abierto de \( x \) contiene al menos un punto de \( B \) distinto de \( x \).

• Si \( x \in (0, 1) \), cualquier entorno de \( x \) contiene infinitos puntos de \( B \) distintos de \( x \), por lo que todos los puntos del intervalo abierto son puntos límite.
• Si \( x = 0 \) o \( x = 1 \), también lo son, ya que todo entorno abierto de estos puntos contiene otros puntos del intervalo cerrado \( [0, 1] \).

En consecuencia, el conjunto de puntos límite de \( B \) es:

$$ B' = [0, 1] $$

Calculemos ahora el cierre de \( B \).

Por definición, el cierre de \( B \), denotado \( \text{Cl}(B) \), es la unión de \( B \) con sus puntos límite:

$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0, 1] \cup [0, 1] = [0, 1] $$

Como el conjunto coincide con su cierre, se concluye que \( B \) es un conjunto cerrado.

$$ B = \text{Cl}(B) = [0, 1] $$

Este ejemplo reafirma que un conjunto es cerrado si y solo si es igual a su cierre.

Demostración del teorema

Vamos a demostrar que el cierre de un conjunto \( A \) en un espacio topológico \( X \) es exactamente la unión de \( A \) con el conjunto \( A' \) de sus puntos límite: \( \text{Cl}(A) = A \cup A' \).

Empezamos por precisar las definiciones clave:

• Cierre de \( A \): \( \text{Cl}(A) \) es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a \( A \).
• Punto límite: Un punto \( x \in X \) es límite de \( A \) si todo entorno abierto de \( x \) contiene al menos un punto de \( A \) distinto de \( x \).

Debemos probar que \( \text{Cl}(A) = A \cup A' \), siendo \( A' \) el conjunto de puntos límite de \( A \).

Dividiremos la demostración en tres partes:

1] \( A \cup A' \) está contenido en \( \text{Cl}(A) \)

Por definición, \( \text{Cl}(A) \) es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a \( A \), por lo que:

$$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$

Sea \( x \in A' \). Por definición, cualquier entorno abierto de \( x \) intersecta \( A \) en un punto distinto de \( x \).

Supongamos que \( x \notin \text{Cl}(A) \). Entonces existe un entorno abierto \( U \) de \( x \) tal que \( U \cap \text{Cl}(A) = \emptyset \), lo cual implica que \( U \cap A = \emptyset \), ya que \( A \subseteq \text{Cl}(A) \).

Esto contradice el hecho de que \( x \) es punto límite de \( A \), pues todo entorno suyo debe contener puntos de \( A \).

Por tanto, la suposición es falsa y se concluye que \( x \in \text{Cl}(A) \).

Hemos demostrado entonces que:

$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$

Y como también \( A \subseteq \text{Cl}(A) \), se sigue que:

$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$

2] \( \text{Cl}(A) \) está contenido en \( A \cup A' \)

Sea \( x \in \text{Cl}(A) \). Supongamos que \( x \notin A \).

Como \( x \in \text{Cl}(A) \), todo entorno abierto de \( x \) debe intersectar \( A \), ya que si existiera uno que no lo hiciera, \( x \) no estaría en el cierre.

Así, \( x \) debe ser un punto límite de \( A \), es decir, \( x \in A' \).

Por tanto:

\[ x \in A \cup A' \]

Concluimos entonces que:

\[ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \]

3] Conclusión

Como hemos demostrado ambas inclusiones:

$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$

$$ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$

Se concluye que el cierre de un conjunto \( A \) en un espacio topológico \( X \) es exactamente la unión de \( A \) con el conjunto de sus puntos límite:

\[ \text{Cl}(A) = A \cup A' \]

Y con esto queda probado.