La bisectriz en un triángulo isósceles
En un triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo del vértice - el ángulo opuesto a la base - coincide también con la mediana y con la altura trazadas desde ese vértice.
Demostración
Consideremos un triángulo isósceles ABC.
Como se trata de un triángulo isósceles, los lados AC y BC tienen la misma longitud, y los ángulos de la base - α y β - también son iguales:
$$ \overline{AC} = \overline{BC} $$
$$ \alpha = \beta $$
Trazamos ahora la bisectriz CM del ángulo γ, desde el vértice C hasta el lado opuesto AB.
La bisectriz CM divide el ángulo γ en dos ángulos iguales:
$$ \gamma_1 \cong \gamma_2 $$
La construcción da lugar a dos triángulos: ACM y BCM, que comparten las siguientes propiedades:
- tienen un lado común: CM
- dos lados congruentes: AC ≅ BC
- y ángulos opuestos al lado común también congruentes: γ1 ≅ γ2
Por el criterio de congruencia lado - ángulo - lado (LAL), los triángulos AMC y BMC son congruentes:
$$ \triangle AMC \cong \triangle BMC $$
Como consecuencia, todos sus elementos correspondientes son iguales. En particular, los segmentos AM y BM tienen la misma longitud:
$$ \overline{AM} \cong \overline{BM} $$
Esto implica que M es el punto medio del lado AB. Es decir, la bisectriz CM es también la mediana correspondiente a la base del triángulo.
Dado que los triángulos AMC y BMC son congruentes, los ángulos δ1 y δ2 formados entre la bisectriz y la base también son iguales:
$$ \delta_1 \cong \delta_2 $$
Además, estos ángulos son adyacentes y suplementarios, por lo que:
$$ \delta_1 + \delta_2 = 180^\circ $$
Si dos ángulos son iguales y su suma es 180°, necesariamente deben ser rectos:
$$ \delta_1 = \delta_2 = 90^\circ $$
Esto demuestra que la bisectriz CM es también la altura del triángulo, ya que forma un ángulo recto con la base AB.
Así queda demostrada esta propiedad fundamental de los triángulos isósceles.
