Relación entre la longitud del lado y el radio de la circunferencia inscrita en un triángulo equilátero
La relación entre la longitud del lado de un triángulo equilátero y el radio de su circunferencia inscrita se expresa mediante la siguiente fórmula: $$ l = 2r \sqrt{3} $$
Un ejemplo práctico
Consideremos un triángulo equilátero cuyos lados miden 3 unidades y cuya circunferencia inscrita tiene un radio de \( r = 0.866 \).
La fórmula que relaciona el radio de la circunferencia inscrita con la longitud del lado del triángulo equilátero es:
$$ l = 2r \sqrt{3} $$
Si sustituimos el valor \( r = 0.866 \), obtenemos:
$$ l = 2 \times 0.866 \times \sqrt{3} $$
$$ l = 1.7321 \times \sqrt{3} $$
$$ l = 3 $$
Esto confirma que la longitud del lado del triángulo equilátero es, en efecto, de 3 unidades.
Demostración
Consideremos un triángulo equilátero ABC.
Se traza la altura \( h = CH \) desde el vértice C, perpendicular a la base AB.
En un triángulo equilátero, la altura corta a la base AB en su punto medio H, dividiéndola en dos segmentos iguales, de modo que \( AH = BH \).
Además, esta altura coincide con la mediana y con la bisectriz del ángulo en el vértice C.
Después, se trazan las otras dos medianas desde los vértices A y B.
Las tres medianas concurren en el baricentro O del triángulo.
A continuación, se construye la circunferencia inscrita del triángulo equilátero, que es tangente a sus tres lados.
El segmento OH representa el radio de esta circunferencia inscrita.
Se sabe que, en cualquier triángulo, el baricentro divide cada mediana en la razón 2:1, es decir, en dos segmentos cuya longitud es, respectivamente, un tercio y dos tercios de la longitud total de la mediana. Por lo tanto, el radio \( r = OH \) equivale a un tercio de la altura \( CH \).
$$ \overline{OH} = \frac{1}{3} \times \overline{CH} $$
De este modo, la altura \( CH \) es tres veces la longitud de \( OH \):
$$ \overline{CH} = 3 \times \overline{OH} $$
Siendo \( OH = r \) el radio de la circunferencia inscrita y \( CH = h \) la altura del triángulo equilátero, tenemos:
$$ h = 3 \times r $$
Por otra parte, sabemos la relación entre la longitud del lado y la altura de un triángulo equilátero:
$$ h = \frac{l}{2} \sqrt{3} $$
Sustituyendo \( h = 3r \), se obtiene:
$$ 3r = \frac{l}{2} \sqrt{3} $$
De esta ecuación podemos despejar \( r \) en función de la longitud del lado \( l \):
$$ r = \frac{l}{2 \times 3} \sqrt{3} $$
$$ r = \frac{l}{6} \sqrt{3} $$
Para simplificar la expresión, multiplicamos y dividimos el segundo miembro por \( \sqrt{3} \):
$$ r = \frac{l}{6} \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $$
$$ r = \frac{l}{6 \sqrt{3}} \times \left(\sqrt{3} \times \sqrt{3}\right) $$
$$ r = \frac{l}{6 \sqrt{3}} \times 3 $$
$$ r = \frac{l}{2 \sqrt{3}} $$
Finalmente, despejando \( l \) en función del radio \( r \) de la circunferencia inscrita, obtenemos:
$$ l = 2r \sqrt{3} $$
Queda así demostrada la relación entre el radio de la circunferencia inscrita y la longitud del lado de un triángulo equilátero.
Y así sucesivamente.
