Aire d'un triangle

L'aire d'un triangle se calcule à l'aide d'une formule simple. Si \(b\) représente la longueur de la base et \(h\) la hauteur correspondante, c'est-à-dire le segment perpendiculaire à la droite support de la base passant par le sommet opposé, alors l'aire \(A\) du triangle est donnée par : $$ A = \frac{b \cdot h}{2} $$

Cette formule s'explique facilement. Un triangle peut en effet être considéré comme la moitié d'un parallélogramme ayant la même base et la même hauteur.

Or, l'aire d'un parallélogramme est égale au produit de la base par la hauteur.

Il suffit donc de diviser ce produit par deux pour obtenir l'aire du triangle.

Formules inverses

Lorsque l'aire du triangle est connue, il est également possible de calculer la longueur de la base ou celle de la hauteur grâce aux formules inverses.

Pour déterminer la base :

$$ b=\frac{2A}{h} $$

Pour déterminer la hauteur :

$$ h=\frac{2A}{b} $$

Ces relations sont très utilisées dans les exercices et les problèmes de géométrie.

Exemple d'application

Considérons un triangle scalène dont la hauteur est \(h=7{,}0588\) et la base \(c=17\).

On applique directement la formule de l'aire.

$$ A=\frac{c \cdot h}{2}=\frac{17 \cdot 7{,}0588}{2} $$

$$ A=\frac{119{,}9996}{2} $$

$$ A=59{,}9998 \approx 60 $$

L'aire du triangle est donc d'environ 60 unités carrées.

Aire d'un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont perpendiculaires. L'un peut donc être pris comme base et l'autre comme hauteur.

Si \(c_1\) et \(c_2\) sont les longueurs des deux côtés de l'angle droit, alors :

$$ A=\frac{c_1 \cdot c_2}{2} $$

Cette formule est un cas particulier de la formule générale de l'aire du triangle.

La formule de Héron

La formule de Héron permet de calculer l'aire d'un triangle lorsque seules les longueurs de ses trois côtés sont connues.

$$ A=\sqrt{p \cdot (p-l_1)\cdot (p-l_2)\cdot (p-l_3)} $$

où \(l_1\), \(l_2\) et \(l_3\) sont les longueurs des côtés du triangle, et

$$ p=\frac{l_1+l_2+l_3}{2} $$

désigne le demi-périmètre.

Cette méthode est particulièrement utile lorsque la hauteur est inconnue ou difficile à déterminer.

Exemple

Reprenons le triangle de l'exemple précédent.

Les longueurs des côtés sont :

\(a=8\), \(b=15\) et \(c=17\).

La formule devient :

$$ A=\sqrt{p \cdot (p-8)\cdot (p-15)\cdot (p-17)} $$

Calculons d'abord le demi-périmètre.

$$ p=\frac{8+15+17}{2} $$

$$ p=\frac{40}{2} $$

$$ p=20 $$

Remplaçons ensuite \(p\) dans la formule.

$$ A=\sqrt{20\cdot(20-8)\cdot(20-15)\cdot(20-17)} $$

$$ A=\sqrt{20\cdot12\cdot5\cdot3} $$

$$ A=\sqrt{3600} $$

$$ A=60 $$

On obtient exactement la même aire que précédemment, soit 60 unités carrées.

Calcul de l'aire d'un triangle par la trigonométrie

La trigonométrie offre une autre méthode pour calculer l'aire d'un triangle.

L'aire est égale à la moitié du produit de deux côtés multiplié par le sinus de l'angle compris entre eux.

$$ A=\frac{1}{2}\cdot l_1 \cdot l_2 \cdot \sin\alpha $$

Ici, \(l_1\) et \(l_2\) sont deux côtés adjacents, et \(\alpha\) est l'angle qu'ils forment.

La même relation peut être appliquée aux deux autres angles du triangle :

$$ A=\frac{1}{2}\cdot l_1 \cdot l_3 \cdot \sin\beta $$

$$ A=\frac{1}{2}\cdot l_2 \cdot l_3 \cdot \sin\gamma $$

Cette formule est valable pour tous les triangles : scalènes, isocèles ou rectangles.

Exemple

Considérons le triangle scalène suivant.

L'angle \(\alpha\) mesure \(60^\circ\), tandis que les côtés adjacents sont \(AB=7\) et \(AC=8\).

On applique la formule.

$$ A=\frac{1}{2}\cdot7\cdot8\cdot\sin60^\circ $$

$$ A=\frac{1}{2}\cdot56\cdot\sin60^\circ $$

$$ A=28\cdot\sin60^\circ $$

Or :

$$ \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2} $$

On obtient alors :

$$ A=28\cdot\frac{\sqrt3}{2} $$

$$ A=14\sqrt3 $$

$$ A\approx24{,}2487 $$

L'aire du triangle \(ABC\) est donc d'environ 24,2487 unités carrées.

Vérification. Pour vérifier ce résultat, il suffit de mesurer une hauteur du triangle.

On applique ensuite la formule géométrique classique : $$ A=\frac{\overline{AB}\cdot h}{2} $$ $$ A=\frac{7\cdot6{,}9282}{2} $$ $$ A=\frac{48{,}4974}{2} $$ $$ A=24{,}2487 $$ On retrouve exactement la même valeur. Cette vérification confirme le résultat obtenu à l'aide de la formule trigonométrique.

Le même raisonnement peut être appliqué en choisissant n'importe quel côté comme base et la hauteur correspondante.