Relation entre le côté d’un triangle équilatéral et le rayon du cercle inscrit
Dans un triangle équilatéral, il existe une relation simple entre la longueur du côté et le rayon du cercle inscrit. Cette relation s'écrit : $$ l = 2r \sqrt{3} $$
Cette formule permet de calculer directement la longueur du côté d'un triangle équilatéral à partir du rayon de son cercle inscrit, ou inversement.
Exemple d'application
Prenons un triangle équilatéral dont le cercle inscrit a un rayon de \( r = 0.866 \).
La relation entre le rayon du cercle inscrit et la longueur du côté est :
$$ l = 2r \sqrt{3} $$
En remplaçant \( r \) par sa valeur, on obtient :
$$ l = 2 \times 0.866 \times \sqrt{3} $$
$$ l = 1.7321 \times \sqrt{3} $$
$$ l = 3 $$
On retrouve ainsi un triangle équilatéral dont chaque côté mesure 3 unités.
Démonstration
Considérons un triangle équilatéral ABC.
Traçons la hauteur \( h = CH \) issue du sommet C et perpendiculaire à la base AB.
Dans un triangle équilatéral, cette hauteur coupe la base en son milieu H. Elle partage donc le côté AB en deux segments égaux :
$$ AH = BH $$
La hauteur possède également deux autres propriétés importantes. Elle est à la fois la médiane relative à la base et la bissectrice de l'angle situé au sommet C.
Traçons maintenant les deux autres médianes issues des sommets A et B.
Les trois médianes se rencontrent en un point unique O, appelé centre de gravité du triangle.
Construisons ensuite le cercle inscrit, c'est-à-dire le cercle tangent aux trois côtés du triangle.
Le segment OH correspond alors au rayon de ce cercle inscrit.
Dans tout triangle, le centre de gravité partage chaque médiane dans le rapport 2:1. Autrement dit, il divise chaque médiane en deux parties représentant respectivement un tiers et deux tiers de sa longueur totale.
Dans notre cas, le segment \( OH \) représente donc un tiers de la hauteur \( CH \) :
$$ \overline{OH} = \frac{1}{3}\,\overline{CH} $$
On en déduit immédiatement :
$$ \overline{CH} = 3\,\overline{OH} $$
Comme \( OH = r \) et \( CH = h \), on obtient :
$$ h = 3r $$
D'autre part, la hauteur d'un triangle équilatéral est liée à la longueur de son côté par la relation suivante :
$$ h = \frac{l}{2}\sqrt{3} $$
En remplaçant \( h \) par \( 3r \), on obtient :
$$ 3r = \frac{l}{2}\sqrt{3} $$
Cette équation permet d'exprimer le rayon \( r \) en fonction du côté \( l \) :
$$ r = \frac{l}{2 \times 3}\sqrt{3} $$
$$ r = \frac{l}{6}\sqrt{3} $$
Pour simplifier cette expression, multiplions et divisons le second membre par \( \sqrt{3} \) :
$$ r = \frac{l}{6}\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $$
$$ r = \frac{l}{6\sqrt{3}} \times \left(\sqrt{3}\times\sqrt{3}\right) $$
$$ r = \frac{l}{6\sqrt{3}} \times 3 $$
$$ r = \frac{l}{2\sqrt{3}} $$
Il ne reste plus qu'à isoler \( l \) :
$$ l = 2r\sqrt{3} $$
Nous avons ainsi démontré la relation qui lie le rayon du cercle inscrit à la longueur du côté d'un triangle équilatéral.
Cette formule est particulièrement utile en géométrie pour passer rapidement de l'une de ces grandeurs à l'autre sans avoir à reconstruire l'ensemble de la figure.
