Área del triángulo

El área de un triángulo se calcula mediante una fórmula muy sencilla. Si b representa la longitud de la base y h la altura correspondiente, es decir, la distancia perpendicular entre la base y el vértice opuesto, el área A viene dada por la siguiente expresión: $$ A = \frac{b \cdot h}{2} $$

Esta fórmula se entiende fácilmente si pensamos que un triángulo ocupa exactamente la mitad de un paralelogramo con la misma base y la misma altura.

Esta relación entre ambas figuras permite comprender de dónde surge la fórmula del área del triángulo.

Como el área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura, el área de un triángulo corresponde a la mitad de ese producto.

Fórmulas inversas

La fórmula del área también puede despejarse para calcular la base o la altura cuando se conocen el área y la otra dimensión del triángulo.

$$ b=\frac{2A}{h} $$

Si se desea obtener la altura, basta con utilizar la expresión inversa:

$$ h=\frac{2A}{b} $$

Estas fórmulas son muy útiles para resolver ejercicios y problemas de geometría.

Ejemplo práctico

Consideremos un triángulo escaleno cuya altura es h=7,0588 y cuya base es c=17.

Para calcular el área, multiplico la base por la altura y divido el resultado entre dos.

$$ A=\frac{c \cdot h}{2}=\frac{17 \cdot 7{,}0588}{2}\approx60 $$

Por tanto, el área del triángulo es A=60 unidades cuadradas.

Área del triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo el cálculo es aún más sencillo. Basta con multiplicar las longitudes de los dos catetos y dividir el resultado entre dos.

$$ A=\frac{c_1 \cdot c_2}{2} $$

Esto es posible porque uno de los catetos actúa como base y el otro como altura, ya que ambos son perpendiculares entre sí.

Fórmula de Herón

La fórmula de Herón permite calcular el área de cualquier triángulo conociendo únicamente las longitudes de sus tres lados, sin necesidad de conocer la altura.

$$ A=\sqrt{p \cdot (p-l_1)\cdot (p-l_2)\cdot (p-l_3)} $$ donde \(l_1\), \(l_2\) y \(l_3\) representan las longitudes de los lados, y \(p=\frac{l_1+l_2+l_3}{2}\) es el semiperímetro del triángulo.

Se trata de una fórmula especialmente útil cuando la altura no se conoce o resulta difícil de determinar.

Ejemplo

Utilicemos el mismo triángulo del ejemplo anterior.

En este caso, las longitudes de los lados son a=8, b=15 y c=17.

$$ A=\sqrt{p \cdot (p-8)\cdot (p-15)\cdot (p-17)} $$

Primero calculo el semiperímetro.

$$ p=\frac{8+15+17}{2}=\frac{40}{2}=20 $$

Ahora sustituyo el valor de p en la fórmula.

$$ A=\sqrt{p \cdot (p-8)\cdot (p-15)\cdot (p-17)} $$

$$ A=\sqrt{20 \cdot (20-8)\cdot (20-15)\cdot (20-17)} $$

$$ A=\sqrt{20 \cdot 12 \cdot 5 \cdot 3} $$

$$ A=\sqrt{3600} $$

$$ A=60 $$

El área del triángulo es 60 unidades cuadradas.

Como puede comprobarse, el resultado coincide con el obtenido mediante la fórmula basada en la base y la altura.

Cálculo del área de un triángulo mediante trigonometría

Otra forma de calcular el área de un triángulo consiste en utilizar la trigonometría.

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de las longitudes de dos lados por el seno del ángulo comprendido entre ellos. $$ A=\frac{1}{2}\cdot l_1\cdot l_2\cdot\sin\alpha $$

En esta expresión, l₁ y l₂ representan dos lados del triángulo y α es el ángulo comprendido entre ambos.

La misma idea puede aplicarse a cualquiera de los otros ángulos del triángulo utilizando los dos lados que lo forman.

$$ A=\frac{1}{2}\cdot l_1\cdot l_3\cdot\sin\beta $$

$$ A=\frac{1}{2}\cdot l_2\cdot l_3\cdot\sin\gamma $$

Estas expresiones son válidas para cualquier tipo de triángulo: equilátero, isósceles, rectángulo o escaleno.

Ejemplo

Consideremos un triángulo escaleno con las siguientes medidas.

El ángulo α mide 60° y los lados que lo forman son AB=7 y AC=8.

Aplico la fórmula del área.

$$ A=\frac{1}{2}\cdot l_1\cdot l_2\cdot\sin\alpha $$

En este caso, $ \alpha=60^\circ $, $ l_1=\overline{AB}=7 $ y $ l_2=\overline{AC}=8 $.

$$ A=\frac{1}{2}\cdot(7\cdot8)\cdot\sin60^\circ $$

$$ A=\frac{1}{2}\cdot56\cdot\sin60^\circ $$

$$ A=28\cdot\sin60^\circ $$

Como $ \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2} $, sustituyo este valor.

$$ A=28\cdot\frac{\sqrt3}{2} $$

$$ A=14\sqrt3 $$

$$ A\approx24{,}2487 $$

Así obtengo el área del triángulo ABC mediante la fórmula trigonométrica.

Comprobación. Para verificar el resultado, determino la altura correspondiente a la base AB.

Después aplico la fórmula geométrica basada en la base y la altura. $$ A=\frac{\overline{AB}\cdot h}{2}=\frac{7\cdot6{,}9282}{2}=24{,}2487 $$ El valor obtenido coincide con el cálculo anterior, lo que confirma que la aplicación de la fórmula trigonométrica es correcta.

Este mismo procedimiento puede aplicarse utilizando cualquiera de los otros ángulos del triángulo y los dos lados que lo delimitan.