La bissectrice dans un triangle isocèle

Dans un triangle isocèle, la bissectrice de l'angle au sommet, c'est-à-dire de l'angle opposé à la base, est aussi la médiane et la hauteur issues de ce sommet. Cette propriété est l'une des plus importantes de la géométrie du triangle isocèle.

Démonstration

Considérons un triangle isocèle ABC.

Comme le triangle est isocèle, les côtés AC et BC ont la même longueur. Les angles à la base, notés α et β, sont donc égaux :

$$ \overline{AC} = \overline{BC} $$

$$ \alpha = \beta $$

Traçons maintenant la bissectrice CM de l'angle γ, issue du sommet C et coupant le côté opposé AB au point M.

Par définition, la bissectrice partage l'angle γ en deux angles de même mesure :

$$ \gamma_1 \cong \gamma_2 $$

La construction fait alors apparaître deux triangles, ACM et BCM, qui présentent les caractéristiques suivantes :

• ils ont un côté commun : CM ;
• les côtés AC et BC sont de même longueur ;
• les angles γ₁ et γ₂, compris entre ces côtés et le segment CM, sont égaux.

Ces trois propriétés permettent d'appliquer le critère de congruence côté - angle - côté (CAC). On obtient donc :

$$ \triangle AMC \cong \triangle BMC $$

Les deux triangles étant congruents, tous leurs éléments homologues sont égaux. En particulier, les segments AM et BM ont la même longueur :

$$ \overline{AM} \cong \overline{BM} $$

Le point M est donc le milieu du côté AB. Par conséquent, la bissectrice CM est également la médiane relative à la base du triangle.

Les triangles AMC et BMC étant congruents, les angles δ₁ et δ₂, formés par la droite CM avec la base AB, sont eux aussi égaux :

$$ \delta_1 \cong \delta_2 $$

Ces deux angles sont adjacents et supplémentaires. Leur somme vaut donc :

$$ \delta_1 + \delta_2 = 180^\circ $$

Or deux angles égaux dont la somme est de 180° mesurent nécessairement 90° chacun :

$$ \delta_1 = \delta_2 = 90^\circ $$

La droite CM est donc perpendiculaire à la base AB. Autrement dit, la bissectrice CM est également la hauteur du triangle.

On démontre ainsi qu'à partir du sommet principal d'un triangle isocèle, une même droite remplit trois rôles géométriques : elle est à la fois bissectrice, médiane et hauteur.