Cosinus d'une matrice
Le cosinus d'une matrice \( A \) se définit à partir du développement en série de Taylor de la fonction cosinus, transposé au cadre matriciel : $$ \cos(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} A^{2k} $$
En pratique, calculer le cosinus d'une matrice consiste à développer cette série infinie, où chaque terme fait intervenir une puissance paire de \( A \), pondérée par le coefficient correspondant.
Exemple concret
Considérons la matrice :
$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$
Cette matrice correspond à une rotation dans le plan. Sa structure particulièrement simple permet un calcul analytique direct.
Pour déterminer \( \cos(A) \), on utilise les premiers termes de la série de Taylor (ou de Maclaurin) :
$$ \cos(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} A^{2k} $$
Autrement dit :
$$ \cos(A) = I - \frac{A^2}{2!} + \frac{A^4}{4!} - \dots $$
Calculons d’abord \( A^2 \) :
$$ A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I $$
où \( I \) désigne la matrice identité.
Remarque : Le calcul des puissances d'une matrice repose sur des produits matriciels successifs. Il ne s’agit pas d’élever chaque élément séparément, mais bien de multiplier la matrice par elle-même : $$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ -1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) & -1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I $$
Comme \( A^2 = -I \), on en déduit immédiatement :
$$ A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I)^2 = I $$
En tenant compte de ces résultats, la série s’écrit alors :
$$ \cos(A) = I - \frac{A^2}{2!} + \frac{A^4}{4!} - \dots $$
En remplaçant \( A^2 = -I \) et \( A^4 = I \), on obtient :
$$ \cos(A) = I - \frac{-I}{2!} + \frac{I}{4!} - \dots $$
$$ \cos(A) = I \left(1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{4!} + \dots \right) $$
La somme des premiers termes - dont les signes alternent - fournit déjà une excellente approximation de \( \cos(A) \) :
$$ \cos(A) \approx I \left(1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{4!} + \dots \right) $$
La série converge rapidement et donne une représentation précise du cosinus de la matrice \( A \) avec seulement quelques termes.
Et ainsi de suite.
