Multiplication d’une matrice par un scalaire

Multiplier une matrice B par un scalaire α revient à former une nouvelle matrice B’ dont chaque coefficient est obtenu en multipliant b_ij par α : B’_ij = α·b_ij.

$$ \alpha \cdot B = ( \alpha \cdot b_{ij} ) $$

Exemple : multiplions la matrice A par le scalaire α = 3. On obtient une matrice dont tous les coefficients sont trois fois ceux de la matrice initiale.

Propriétés de la multiplication scalaire

La multiplication d’une matrice par un nombre réel satisfait aux propriétés suivantes :

1. Distributivité par rapport à l’addition de matrices
   α(A + B) = αA + αB.

   Remarque : A et B doivent être de même dimension, et α un réel.

2. Distributivité par rapport à l’addition de scalaires
   (α + β)A = αA + βA.
3. Associativité
   (α·β)A = α(βA).
4. Élément neutre
   1·A = A. Le nombre 1 joue le rôle d’identité multiplicative.
5. Élément absorbant
   0·A = O, la matrice nulle.
6. Opposé additif
   ( - 1)A = - A.