Sinus d'une matrice
Le sinus d'une matrice \( A \) se définit à partir du développement en série de Taylor de la fonction sinus : $$ \sin(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} A^{2k+1} $$
Pour calculer le sinus d'une matrice, on développe cette série infinie en considérant les puissances impaires de \( A \), que l’on multiplie ensuite par les coefficients correspondants.
Cette série est convergente pour toute matrice carrée \( A \).
Remarque. Le sinus matriciel intervient dans de nombreux domaines, en particulier en physique et en ingénierie, où il est utilisé pour modéliser des systèmes dynamiques et résoudre des équations différentielles matricielles.
Exemple concret
Considérons la matrice \( A \) :
$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$
Cette matrice correspond à une rotation dans le plan. Sa structure très simple permet de simplifier considérablement les calculs.
Calculons maintenant \( \sin(A) \) à l’aide des premiers termes de la série de Taylor :
$$ \sin(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} A^{2k+1} $$
Cela revient à écrire :
$$ \sin(A) = A - \frac{A^3}{3!} + \frac{A^5}{5!} - \dots $$
Observons d’abord que :
$$ A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I $$
où \( I \) désigne la matrice identité.
Remarque. Pour calculer des puissances de matrices, on effectue des multiplications matricielles successives ; il ne s’agit pas d’élever séparément les éléments. Dans ce cas : $$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ -1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) & -1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I $$
À partir de \( A^2 = -I \), on obtient :
$$ A^3 = A \cdot A^2 = A \cdot (-I) = -A $$
De même :
$$ A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I)^2 = I $$
Donc :
$$ A^5 = A \cdot A^4 = A \cdot I = A $$
En exploitant ces identités, la série peut se réécrire ainsi :
$$ \sin(A) = A - \frac{(-A)}{3!} + \frac{A}{5!} - \dots $$
$$ \sin(A) = A \left(1 - \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} - \dots \right) $$
En additionnant les premiers termes - qui s’alternent en signe - on obtient une approximation efficace de \( \sin(A) \) :
$$ \sin(A) \approx A \left(1 - \frac{1}{6} + \frac{1}{120} - \dots \right) $$
La série converge rapidement, ce qui permet d’approcher \( \sin(A) \) avec une grande précision dès les premiers termes.
Et ainsi de suite.
