Matrices unimodulaires

Une matrice carrée $M$ d’ordre $m$ est dite unimodulaire lorsque tous ses éléments sont des entiers et que son déterminant vaut $+1$ ou $-1$ : $$ \det(M) = \pm 1 $$

Exemple pratique

Considérons la matrice suivante de dimension $2 \times 2$ :

$$ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

Cette matrice est unimodulaire car son déterminant est égal à 1 :

$$ \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 1 $$

Exemple 2

Considérons maintenant la matrice :

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} $$

Elle est également unimodulaire, car son déterminant vaut $-1$ :

$$ \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = -1 $$

Propriétés fondamentales des matrices unimodulaires

Les matrices unimodulaires possèdent plusieurs propriétés remarquables :

• Fermeture par multiplication : le produit de deux matrices unimodulaires est encore une matrice unimodulaire.

  Exemple. En multipliant les deux matrices $$ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$ on obtient une nouvelle matrice unimodulaire, puisque $$ \det \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = 27 - 28 = -1 $$

• Inversibilité : toute matrice unimodulaire est inversible, et son inverse est également unimodulaire.

  Exemple. La matrice $$ M = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ est unimodulaire, donc inversible. Son matrice inverse est $$ M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} $$ qui est elle aussi unimodulaire, puisque $$ \det M^{-1} = \det \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = 3 - 2 = 1 $$

• Matrice identité : toute matrice identité est par définition unimodulaire.

  Exemple. La matrice identité d’ordre 2 $$ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ est unimodulaire car $$ \det I_2 = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 $$

Ces caractéristiques expliquent l’importance des matrices unimodulaires en algèbre linéaire, en particulier dans les méthodes de réduction de matrices et dans la théorie des réseaux, où la conservation de la structure entière joue un rôle central.