Matrice nulle
On appelle matrice nulle toute matrice dont l’ensemble des éléments est égal à zéro. On la note en général $$ 0_{m \times n} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix} $$ et, selon le contexte, elle est également désignée sous les appellations matrice zéro ou matrice vide.
La matrice nulle peut être carrée ou rectangulaire, et ses composantes peuvent appartenir à différents ensembles numériques (entiers, réels, complexes, etc.). Aucune contrainte n’existe quant au nombre de lignes ou de colonnes.
Exemples de matrices nulles
Par exemple, une matrice nulle d’ordre 2×2 contient quatre zéros :
$$ 0_{2 \times 2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$
D’autres exemples sont présentés ci-dessous :
$$ 0_{2 \times 3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ 0_{3 \times 2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ 0_{1 \times 1} = \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} $$
Propriétés de la matrice nulle
1. Élément neutre pour l’addition
La matrice nulle joue le rôle d’élément neutre dans l’addition matricielle. En ajoutant une matrice à une matrice nulle de même dimension, on obtient la matrice initiale :
$$ M + 0 = 0 + M = M $$
Par exemple, considérons la matrice carrée suivante :
$$ M_{2 \times 2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
En l’additionnant à une matrice nulle de même ordre, on obtient :
$$ M_{2 \times 2} + 0_{2 \times 2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 2+0 \\ 3+0 & 4+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
2. Élément absorbant pour la multiplication
La matrice nulle agit également comme élément absorbant dans la multiplication matricielle. Toute matrice multipliée par une matrice nulle de dimensions compatibles donne toujours une matrice nulle :
$$ M \cdot 0 = 0 \cdot M = 0 $$
Par exemple, considérons la matrice carrée suivante :
$$ M_{2 \times 2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
Le produit de \( M \) par une matrice nulle du même ordre est :
$$ M_{2 \times 2} \cdot 0_{2 \times 2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$
