Vecteurs propres

Un vecteur non nul $ \mathbf{v} $ est dit vecteur propre d’une matrice carrée $ A $ s’il existe un scalaire $ \lambda \in \mathbb{R} $ (ou $ \mathbb{C} $) tel que : $$ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$ Dans cette relation, $ \lambda $ est la valeur propre associée au vecteur propre $ \mathbf{v} $.

Autrement dit, l’action de la matrice $ A $ sur $ \mathbf{v} $ se résume à une multiplication par le scalaire $ \lambda $ : la direction de $ \mathbf{v} $ reste inchangée, seule sa norme (et éventuellement son sens) est modifiée.

De manière intuitive, un vecteur propre est un vecteur qui conserve sa direction sous l’effet de la transformation linéaire : il peut être dilaté, contracté ou réfléchi, mais jamais tourné ni réorienté.

Comment déterminer les vecteurs propres ?
Exemple

Comment déterminer les vecteurs propres ?

Pour calculer les vecteurs propres d’une matrice carrée $ A $ d’ordre $ n $, on résout l’équation matricielle homogène :

$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 $$

où $ I $ désigne la matrice identité de dimension $ n \times n $.

Les valeurs de $ \lambda $ qui rendent cette équation compatible avec des solutions non triviales ($ \mathbf{v} \ne \mathbf{0} $) sont obtenues à partir du polynôme caractéristique :

$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$

Une fois les valeurs propres trouvées, on détermine pour chacune le noyau de $ A - \lambda I $ :

$$ \ker(A - \lambda I) $$

Ce sous-espace vectoriel contient l’ensemble des vecteurs propres associés à $ \lambda $, et constitue un sous-espace de $ \mathbb{R}^n $ (ou de $ \mathbb{C}^n $).

Exemple

Considérons la matrice suivante :

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $$

Le polynôme caractéristique s’obtient en calculant le déterminant de $ A - \lambda I $ :

$$ \det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = 0 $$

En résolvant, on obtient les valeurs propres :

$$ \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 1 $$

On détermine ensuite les vecteurs propres correspondants.

1] Pour $ \lambda_1 = 3 $

On remplace $ \lambda = 3 $ dans l’équation :

$$ A - 3I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

Le système associé est :

$$ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

Ce qui équivaut à :

$$ \begin{cases} -x + y = 0 \\ x - y = 0 \end{cases} \;\;\Rightarrow\;\; x = y $$

Ainsi, tout vecteur de la forme :

$$ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} x \\ x \end{bmatrix} $$

est un vecteur propre associé à $ \lambda_1 = 3 $. Par exemple :

$$ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $$

2] Pour $ \lambda_2 = 1 $

On remplace $ \lambda = 1 $ dans la matrice :

$$ A - 1I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

Le système à résoudre est :

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

Ce qui revient à :

$$ x + y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -y $$

Les vecteurs propres associés à $ \lambda_2 = 1 $ sont donc de la forme :

$$ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} x \\ -x \end{bmatrix} $$

Par exemple :

$$ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $$

3] Conclusion

En résumé, les vecteurs propres de la matrice $ A $ sont :

$ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \text{(associé à } \lambda = 3) $
$ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \quad \text{(associé à } \lambda = 1) $

Ces vecteurs décrivent les directions invariantes de la transformation linéaire définie par la matrice $ A $.