Valeurs propres d’une matrice
Les valeurs propres (ou valeurs caractéristiques) d’une matrice carrée \( A \) sont les scalaires \( \lambda \) qui satisfont l’équation : $$ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$ où \( \mathbf{v} \) est un vecteur non nul appelé vecteur propre (ou vecteur caractéristique).
Cette relation signifie que, lorsque la matrice \( A \) agit sur le vecteur \( \mathbf{v} \), elle ne modifie pas sa direction : seul son module (ou éventuellement son sens) est transformé, selon le facteur d’échelle \( \lambda \).
Pour déterminer les valeurs propres, on calcule le polynôme caractéristique de la matrice :
$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$
Ici, \( I \) désigne la matrice identité de même dimension que \( A \).
Les solutions \( \lambda \) de cette équation sont précisément les valeurs propres de \( A \).
Pourquoi les valeurs propres sont-elles importantes ? Elles jouent un rôle essentiel dans de nombreux domaines, notamment la diagonalisation des matrices, l’analyse des systèmes linéaires et bien d’autres applications en mathématiques et en physique.
Un exemple concret
Considérons la matrice carrée suivante :
$$ A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$
Pour en trouver les valeurs propres, on calcule le polynôme caractéristique :
$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$
où \( I \) est la matrice identité d’ordre 2 :
$$ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 2 \\ 1 & 3 - \lambda \end{pmatrix} $$
Son déterminant est :
$$ \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 $$
En développant, on obtient :
$$ \det(A - \lambda I) = \lambda^2 - 7\lambda + 10 $$
On résout ensuite l’équation quadratique \( \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \) :
$$ \lambda = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} $$
Ce qui donne :
$$ \lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 2 $$
Une fois les valeurs propres calculées, il est possible de déterminer les vecteurs propres correspondants.
Comment détermine-t-on les vecteurs propres ? Pour chaque valeur propre \( \lambda \), on résout l’équation \( (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 \).
- Pour \( \lambda_1 = 5 \) : $$ A - 5I = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} $$ On résout : $$ \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ ce qui revient au système : $$ \begin{cases} -x + 2y = 0 \\ x - 2y = 0 \end{cases} \Rightarrow x = 2y $$ Ainsi, les vecteurs propres associés à \( \lambda_1 = 5 \) sont de la forme : $$ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2y \\ y \end{pmatrix} $$ Un choix classique est \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \).
- Pour \( \lambda_2 = 2 \) : $$ A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ On résout : $$ \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ ce qui équivaut à : $$ \begin{cases} 2x + 2y = 0 \\ x + y = 0 \end{cases} \Rightarrow x = -y $$ Les vecteurs propres associés à \( \lambda_2 = 2 \) sont donc de la forme : $$ \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} x \\ -x \end{pmatrix} $$ Par exemple, \( \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \).
En résumé, les valeurs propres et leurs vecteurs associés sont :
- $ \lambda_1 = 5, \quad \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $
- $ \lambda_2 = 2, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $
Exemple 2
Dans ce second exemple, nous allons déterminer les valeurs propres à partir d’un système d’équations linéaires.
Considérons le système suivant :
$$ \begin{cases} 3x + 2y &= 6, \\ 4x + y &= 5 \end{cases} $$
Un système linéaire peut s’écrire sous forme matricielle :
$$ A \mathbf{x} = \mathbf{b} $$
où \( A \) est la matrice des coefficients, \( \mathbf{x} \) le vecteur des inconnues, et \( \mathbf{b} \) le vecteur des termes constants.
La matrice des coefficients est :
$$ A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} $$
Pour trouver ses valeurs propres, on résout le polynôme caractéristique :
$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$
On construit la matrice :
$$ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 3 - \lambda & 2 \\ 4 & 1 - \lambda \end{bmatrix} $$
Calculons son déterminant :
$$ \det(A - \lambda I) = (3 - \lambda)(1 - \lambda) - 8 $$
En développant :
$$ \det(A - \lambda I) = \lambda^2 - 4\lambda - 5 $$
On obtient ainsi le polynôme caractéristique :
$$ \lambda^2 - 4\lambda - 5 = 0 $$
On résout l’équation quadratique avec la formule générale :
$$ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
avec \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = -5 \) :
$$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} $$
D’où :
$$ \lambda = \begin{cases} -1 \\ 5 \end{cases} $$
Les valeurs propres de la matrice \( A \) sont donc \( \lambda_1 = 5 \) et \( \lambda_2 = -1 \).
À partir de ces résultats, l’analyse peut être poursuivie.
