Matrices unitaires

Une matrice unitaire est une matrice complexe $ U $ dont le produit avec sa transposée conjuguée $ U^{\dagger} $ donne la matrice identité $ I $ :  $$ U^{\dagger} U = U U^{\dagger} = I $$ Autrement dit, $ U^{\dagger} $ représente la transposée conjuguée de $ U $, et $ I $ la matrice identité.

On peut aussi le formuler ainsi : une matrice est unitaire lorsque son inverse $ U^{-1} $ est exactement égal à sa transposée conjuguée $ U^{\dagger} $ :

$$ U^{-1} = U^{\dagger} $$

Dans les deux cas, le résultat est le même : multiplier $ U $ par son inverse ou par sa transposée conjuguée conduit toujours à la matrice identité, c'est-à-dire $ U^{-1} U = I $ et $ U^{\dagger} U = I $.

Remarque. Les matrices unitaires sont définies sur le corps des nombres complexes. Dans le cas particulier des matrices réelles, on retrouve le concept équivalent de matrice orthogonale, pour lequel on a $ O^{-1} = O^T $.

Les matrices unitaires jouent un rôle clé dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique, car elles préservent les longueurs et les angles. On peut les voir comme des transformations qui effectuent des rotations dans un espace complexe, de la même manière qu'une rotation orthogonale conserve les distances dans l'espace réel. C'est cette propriété de conservation qui les rend essentielles, notamment dans les théories quantiques et dans l'étude des symétries.

Un exemple pas à pas

Commençons par une matrice très simple :

$$ U = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Sa transposée conjuguée s’écrit :

$$ U^{\dagger} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Comment la calcule-t-on ?
On commence par prendre la transposée, c’est-à-dire en échangeant lignes et colonnes. Dans ce cas, la matrice étant diagonale, la transposée est identique à l’originale : $$ U^T = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ On prend ensuite le conjugué complexe de chaque élément, en changeant le signe de la partie imaginaire : $ \bar{i} = -i $, $ \bar{1} = 1 $ et $ \bar{0} = 0 $. On obtient ainsi : $$ U^{\dagger} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Calculons maintenant le produit $ U^{\dagger}U $ en appliquant la règle de multiplication ligne par colonne :

$$ U^{\dagger}U = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-i)(i) & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Comme $ i^2 = -1 $, on a $ -i^2 = 1 $. Donc :

$$ U^{\dagger}U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I $$

La conclusion est claire : la matrice $ U $ est bien unitaire, car elle vérifie la condition $ U^{\dagger}U = I $.

Les groupes unitaires U(n) et SU(n)

Toutes les matrices unitaires carrées de taille $ n \times n $ forment un groupe pour la multiplication des matrices. Cet ensemble s’appelle le groupe unitaire et se note $ U(n) $ :

$$ U(n) = \{ U \in \mathbb{C}^{n\times n} \mid U^{\dagger}U = I \} $$

Chaque élément de $ U(n) $ représente une transformation qui conserve les longueurs et les angles dans un espace complexe. Ces transformations sont l’analogue, dans le plan complexe, des rotations et symétries dans l’espace réel.

Au sein de ce groupe, on distingue un sous-groupe fondamental : le groupe unitaire spécial, noté $ SU(n) $, défini par les matrices unitaires dont le déterminant est exactement égal à 1 :

$$ SU(n) = \{ U \in U(n) \mid \det(U) = 1 \} $$

On parle de groupe « spécial » car la condition sur le déterminant supprime le facteur de phase global. Cela garantit que la transformation conserve l’orientation sans introduire de rotation supplémentaire dans l’espace complexe.

Les groupes $ U(n) $ et $ SU(n) $ jouent un rôle central dans la physique moderne. On les retrouve dans la mécanique quantique et la théorie des champs, où ils décrivent les symétries fondamentales qui régissent les particules et leurs interactions.