Polynôme caractéristique d’une matrice carrée

Le polynôme caractéristique d’une matrice carrée est défini comme le déterminant de la matrice $ M $ d’ordre $ n $ diminuée de $ \lambda $ fois la matrice identité de même ordre, notée $ Id_n $. Il s’écrit ainsi : $$ p_M (\lambda) = \det(M - \lambda \cdot Id_n) $$

Le polynôme caractéristique constitue un outil central pour déterminer les valeurs propres (ou autovaleurs) d’une matrice.

Exemple

Considérons la matrice carrée d’ordre 2 suivante :

$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

Pour calculer son polynôme caractéristique, on applique la définition en remplaçant $ M $ et la matrice identité $ Id_2 $ :

$$ p_M (\lambda) = \det(M - \lambda \cdot Id_2) $$

$$ p_M (\lambda) = \det \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \lambda \cdot Id_2 \right) $$

$$ p_M (\lambda) = \det \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) $$

En développant le produit $ \lambda \cdot Id_2 $, on obtient :

$$ p_M (\lambda) = \det \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \right) $$

$$ p_M (\lambda) = \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{pmatrix} $$

Calculons maintenant le déterminant :

$$ p_M (\lambda) = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - (2 \cdot 3) $$

$$ p_M (\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 4 - 6 $$

En simplifiant :

$$ p_M (\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda - 2 $$

Ce polynôme permet de déterminer les valeurs propres de la matrice $ M $, en résolvant l’équation caractéristique $ p_M(\lambda) = 0 $.