Théorème de l'isocèle
Un triangle est isocèle si et seulement si ses deux angles à la base sont congruents.
Cette propriété fondamentale de la géométrie établit un lien direct entre les côtés et les angles d'un triangle. Dans tout triangle, deux côtés de même longueur sont opposés à deux angles de même mesure. La réciproque est également vraie : deux angles de même mesure sont opposés à deux côtés de même longueur.
Ainsi, tout triangle isocèle possède nécessairement deux angles congruents à la base.
Inversement, si un triangle possède deux angles congruents, alors il est nécessairement isocèle.
En résumé, l'égalité des deux angles à la base constitue une condition nécessaire et suffisante pour qu'un triangle soit isocèle.
Démonstration directe
Considérons un triangle isocèle.
Par définition, ce triangle possède deux côtés de même longueur :
$$ \overline{AC} \cong \overline{BC} $$
Les côtés AC et BC sont donc congruents, tandis que AB est la base du triangle.
Notre objectif est de montrer que les angles à la base sont eux aussi congruents.
Traçons pour cela la bissectrice CD de l'angle au sommet. Elle partage cet angle en deux angles congruents, notés γ1 et γ2.
Cette construction forme deux triangles : ACD et BCD.
D'après le premier critère de congruence des triangles (côté-angle-côté), ces deux triangles sont congruents, car :
- ils possèdent le côté CD en commun : $$ \overline{CD} \cong \overline{CD} $$
- les côtés AC et BC sont congruents par hypothèse : $$ \overline{AC} \cong \overline{BC} $$
- les angles γ1 et γ2 sont congruents par construction : $$ \gamma_1 \cong \gamma_2 $$
Deux triangles congruents possèdent des éléments correspondants congruents. On en déduit donc que les angles à la base vérifient :
$$ \alpha \cong \beta $$
Nous venons ainsi de démontrer que tout triangle isocèle possède deux angles congruents à la base.
Démonstration de la réciproque
Montrons maintenant que la propriété réciproque est également vraie.
Considérons un triangle dont les angles α et β sont congruents.
Nous allons démontrer que les côtés opposés à ces deux angles sont eux aussi congruents.
Prolongeons les côtés AC et BC en ajoutant deux segments congruents tels que AD ≅ BE.
Définissons ensuite deux nouveaux angles, α' et β', respectivement supplémentaires de α et de β.
Comme α = β, leurs angles supplémentaires sont eux aussi égaux. On obtient donc :
$$ \alpha' = \beta' $$
Relions maintenant A à E et B à D afin de former les triangles ABE et ABD.
En appliquant le premier critère de congruence des triangles (côté-angle-côté), on obtient :
$$ ABD \cong ABE $$
Par conséquent, les côtés correspondants sont congruents :
$$ \overline{BD} = \overline{AE} $$
Les angles δ et ε sont également congruents :
De même, les angles θ et σ sont congruents :
En additionnant des angles congruents, on obtient :
$$ \alpha + \delta \cong \beta + \epsilon $$
Cette relation permet de conclure à la congruence des triangles ACE et BCD :
$$ ACE \cong BCD $$
On en déduit immédiatement que :
$$ \overline{AC} \cong \overline{BC} $$
Le triangle ABC est donc bien isocèle.
Autre démonstration
Considérons à nouveau un triangle dont deux angles sont congruents, \( \alpha \cong \beta \).
Traçons les bissectrices des angles \( \alpha \) et \( \beta \).
Comme les deux angles sont congruents, leurs moitiés le sont également :
\[ A\widehat{B}Q \cong C\widehat{B}Q \cong B\widehat{A}P \cong C\widehat{A}P \]
Les triangles \( ABQ \) et \( ABP \) sont donc congruents d'après le critère angle-côté-angle (ACA).
On obtient alors :
\[ AP = BQ \]
et
\[ A\widehat{Q}B = B\widehat{P}A \]
Leurs angles supplémentaires sont donc eux aussi congruents :
\[ C\widehat{P}A = C\widehat{Q}B \]
Examinons maintenant les triangles \( APC \) et \( BQC \).
Ils sont congruents selon le critère ACA. Il en résulte que :
\[ AC = BC \]
Nous retrouvons ainsi la conclusion recherchée : le triangle \( ABC \) est isocèle.
La démonstration est terminée.
