Longueur d’onde de Compton
La longueur d’onde de Compton \( \lambda_c \) quantifie le décalage en longueur d’onde \( \Delta \lambda \) subi par un photon lorsqu’il est diffusé élastiquement sur une particule massive, comme un électron. $$ \Delta \lambda = \lambda_c (1 - \cos \theta) $$ Ici, \( \theta \) désigne l’angle de diffusion et la longueur d’onde de Compton se définit par $$ \lambda_c = \frac{h}{m c} $$ où \( h \) est la constante de Planck, \( m \) la masse de la particule (par exemple l’électron) et \( c \) la vitesse de la lumière.
Autrement dit, la longueur d’onde de Compton indique de combien s’allonge la longueur d’onde d’un photon lorsqu’il entre en collision avec une particule massive dans une interaction parfaitement élastique.
Il s’agit d’une notion centrale de la mécanique quantique relativiste.
La diffusion Compton
Ce phénomène fut mis en évidence en 1923 par Arthur H. Compton. En étudiant la diffusion des rayons X sur un matériau, il observa que le rayonnement diffusé présentait une longueur d’onde plus grande (donc une énergie plus faible) que le rayonnement incident. Ce comportement, en rupture avec la description ondulatoire classique, prit le nom de diffusion Compton.
Dans le cadre de la théorie ondulatoire, un tel résultat demeurait inexplicable. En revanche, si l’on considère les photons comme des quanta d’énergie et de quantité de mouvement, l’explication devient immédiate.
Lors de la collision, le photon cède une partie de son énergie et de sa quantité de mouvement à l’électron, de manière analogue à un choc élastique classique entre deux corps.
Remarque. La diffusion Compton constitue l’une des premières preuves expérimentales solides de la nature corpusculaire de la lumière.
Équation de la diffusion Compton
La variation de longueur d’onde du photon lors de la diffusion est donnée par la formule de Compton :
$$ \Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \lambda_c (1 - \cos \theta) $$
Avec :
- \( \lambda \) : longueur d’onde initiale du photon
- \( \lambda' \) : longueur d’onde après diffusion
- \( \theta \) : angle de diffusion (angle de déviation du photon)
- \( \lambda_c \) : longueur d’onde de Compton de la particule cible (par exemple l’électron)
La longueur d’onde de Compton s’écrit :
$$ \lambda_c = \frac{h}{m c} $$
où \( h \) est la constante de Planck, \( m \) la masse de la particule et \( c \) la vitesse de la lumière.
Exemple. Pour l’électron, la longueur d’onde de Compton vaut : $$ \lambda_c \approx 2.426 \times 10^{-12} \text{ m} = 2.426 \, \text{pm} $$
La longueur d’onde de Compton fournit une échelle de longueur fondamentale pour les particules massives. Elle fixe la limite en deçà de laquelle les effets quantiques et relativistes deviennent incontournables.
Si l’on tente de localiser une particule dans une région plus petite que sa longueur d’onde de Compton, les fluctuations quantiques deviennent suffisamment intenses pour permettre la création spontanée de paires particule-antiparticule.
Remarque. La longueur d’onde de Compton est intimement liée à la dualité onde-particule : elle associe à une particule massive une longueur d’onde caractéristique, mais elle ne doit pas être confondue avec la longueur d’onde de de Broglie (qui dépend de la quantité de mouvement). En pratique, la longueur d’onde de Compton dépend de la masse : $$ \lambda_c = \frac{h}{mc} $$ tandis que celle de de Broglie dépend de l’impulsion : $$ \lambda = \frac{h}{p} $$
Un exemple concret
Considérons un cas de diffusion Compton et calculons l’allongement de la longueur d’onde d’un photon après une collision avec un électron.
Soit un photon X de longueur d’onde initiale :
$$ \lambda = 0.030 \ \text{nm} = 3.00 \times 10^{-11} \ \text{m} $$
Le photon frappe un électron libre et est diffusé à 90° :
$$ \theta = 90^\circ $$
La longueur d’onde de Compton est donnée par :
$$ \lambda_c = \frac{h}{m c} $$
Avec \( h = 6.626 \times 10^{-34} \ \text{J·s} \) et \( c = 3.00 \times 10^8 \ \text{m/s} \)
$$ \lambda_c = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ \text{J·s}}{m \times 3.00 \times 10^8 \ \text{m/s}} $$
La masse de l’électron est \( m_e = 9.11 \times 10^{-31} \ \text{kg} \)
$$ \lambda_c = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \cdot 3.00 \times 10^8} $$
$$ \lambda_c \approx 2.426 \times 10^{-12} \ \text{m} $$
En appliquant la formule de Compton :
$$ \Delta \lambda = \lambda_c (1 - \cos \theta) $$
Pour \( \theta = 90^\circ \), \( \cos \theta = 0 \)
$$ \Delta \lambda = \lambda_c (1 - 0) = \lambda_c $$
L’accroissement de la longueur d’onde est donc :
$$ \Delta \lambda = 2.426 \times 10^{-12} \ \text{m} $$
La nouvelle longueur d’onde (après diffusion) devient :
$$ \lambda' = \lambda + \Delta \lambda $$
$$ \lambda' = (3.00 \times 10^{-11}) + (2.426 \times 10^{-12}) \ \text{m} $$
$$ \lambda' = 3.2426 \times 10^{-11} \ \text{m} $$
Ainsi, après la collision avec l’électron, la longueur d’onde du photon augmente :
$$ \lambda' > \lambda = 3.00 \times 10^{-11} \ \text{m} $$
Ce qui implique que l’énergie du photon diminue légèrement.
Cette perte d’énergie résulte du transfert d’une partie de l’impulsion du photon à l’électron lors de la collision.
Pourquoi une longueur d’onde plus grande correspond-elle à une énergie plus faible ? L’énergie \( E \) d’un photon s’exprime par : $$ E = h \nu $$ où \( h \) est la constante de Planck et \( \nu \) la fréquence. Ces grandeurs sont reliées par : $$ \nu = \frac{c}{\lambda} $$ En substituant dans l’expression de l’énergie : $$ E = h \cdot \frac{c}{\lambda} $$ On constate que, plus \( \lambda \) est grande, plus \( E \) est faible, et inversement. Comme la vitesse de la lumière est constante, une fréquence plus basse (donc une longueur d’onde plus grande) signifie moins d’énergie par photon.
Cette expérience est l’une des démonstrations les plus convaincantes que la lumière et la matière échangent bien une quantité de mouvement lors de collisions élastiques, conformément aux prédictions de la théorie quantique relativiste.
Elle reste l’une des expériences déterminantes ayant consacré le caractère corpusculaire de la lumière.
Et ainsi de suite.
