Amplitude de diffusion

L'amplitude de diffusion (scattering) $ \mathcal{M} $ est la quantité centrale qui permet de décrire la probabilité qu'au cours d'une collision, deux particules interagissent selon un processus donné. Le module au carré de cette amplitude correspond directement à la probabilité physique du phénomène et constitue le point de départ pour le calcul de la section efficace mesurée expérimentalement.

En physique quantique, une collision entre deux particules ne conduit jamais à un seul résultat possible. Plusieurs états finaux peuvent être produits, chacun étant associé à une probabilité bien définie.

Imaginons, par exemple, un faisceau de particules incident sur une cible. Une partie des particules traverse la matière sans déviation notable, tandis que d'autres sont diffusées dans différentes directions.

À chaque direction de diffusion est associée une probabilité. Toutefois, ces probabilités ne sont pas calculées directement. L'approche quantique consiste d'abord à déterminer les amplitudes de probabilité associées aux différents processus possibles.

Une amplitude est un nombre complexe dont le module au carré fournit la probabilité qu'un résultat précis se produise.

Remarque. En physique quantique, tous les processus sont décrits en termes d'amplitudes de probabilité. Lorsque plusieurs processus distincts conduisent au même état final, ce sont leurs amplitudes qui s'additionnent de manière cohérente, et non leurs probabilités. Ce n'est qu'après cette addition que l'on calcule le module au carré afin d'obtenir la probabilité physique observable.

Dans les phénomènes de diffusion, c'est-à-dire lors des collisions entre particules, l'amplitude de diffusion $ \mathcal{M} $ contient toute l'information dynamique pertinente sur l'interaction.

Une fois $ \mathcal{M} $ connue, on peut en déduire l'ensemble des grandeurs observables. En particulier, on obtient la section efficace, qui quantifie la probabilité qu'une interaction se produise par un canal donné.

La section efficace $ \sigma $ est proportionnelle au module au carré de l'amplitude de diffusion.

\[ \sigma \propto |\mathcal{M}|^2 \]

Ainsi, plus l'amplitude est grande, plus la probabilité d'interaction est élevée et plus la section efficace associée est importante.

Un exemple concret

Considérons maintenant la diffusion pion-proton, un processus dans lequel interviennent un pion $ \pi $ et un proton $ p $.

$$ \pi + p \to \pi + p $$

Dans ce cas, deux canaux d'isospin sont possibles, correspondant à un isospin total $ I = \tfrac{3}{2} $ ou $ I = \tfrac{1}{2} $.

Pourquoi existe-t-il deux canaux ? Le pion possède un isospin $ I_1 = 1 $ et le proton un isospin $ I_2 = \tfrac{1}{2} $. Lorsqu'on combine ces deux isospins, l'isospin total $ I $ peut prendre toutes les valeurs comprises entre $ |I_1 - I_2| $ et $ I_1 + I_2 $, par pas entiers ou demi-entiers. Dans ce cas : \[ |1 - \tfrac{1}{2}| = \tfrac{1}{2} \] \[ 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \] Les seules valeurs possibles de l'isospin total sont donc : \[ I = \tfrac{1}{2}, \ \tfrac{3}{2} \] Ce résultat s'écrit de manière compacte sous la forme : \[ 1 \otimes \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \oplus \tfrac{1}{2} \] ce qui signifie que la diffusion pion-proton ne peut se produire que dans l'un de ces deux états d'isospin total.

À chacun de ces canaux est associée une amplitude de diffusion spécifique $ \mathcal{M} $ :

$ \mathcal{M}_{3/2} $ pour le canal d'isospin $ \tfrac{3}{2} $
$ \mathcal{M}_{1/2} $ pour le canal d'isospin $ \tfrac{1}{2} $

Selon l'état initial, le processus de diffusion peut impliquer un seul canal d'isospin ou une superposition linéaire de plusieurs canaux.

Dans la diffusion pion-proton, l'état initial peut apparaître sous trois configurations distinctes, déterminées par la charge électrique du pion :

$ \pi^+ + p $
$ \pi^0 + p $
$ \pi^- + p $

Chaque configuration correspond à une valeur différente de la troisième composante de l'isospin et conduit donc à une décomposition particulière sur les canaux d'isospin total $ I = \tfrac{3}{2} $ et $ I = \tfrac{1}{2} $.

Cette situation s'explique par le fait que le pion appartient à un triplet d'isospin. Il possède un isospin $ I = 1 $ et trois valeurs possibles de $ I_3 $, directement liées à ses trois états de charge :

$ \pi^+ $ avec $ I_3 = +1 $
$ \pi^0 $ avec $ I_3 = 0 $
$ \pi^- $ avec $ I_3 = -1 $

Le proton, de son côté, a un isospin $ I = \tfrac{1}{2} $ et une composante $ I_3 = +\tfrac{1}{2} $.

En combinant le pion et le proton, on obtient trois états initiaux caractérisés par des valeurs distinctes de la projection totale de l'isospin :

$ I_3^{\text{tot}} = 1 + \frac12 = +\tfrac{3}{2} $ pour $ \pi^+ + p $
$ I_3^{\text{tot}} = 0 + \frac12 = +\tfrac{1}{2} $ pour $ \pi^0 + p $
$ I_3^{\text{tot}} = -1 + \frac12 = -\tfrac{1}{2} $ pour $ \pi^- + p $

Du point de vue de la symétrie d'isospin, ces états sont physiquement distincts et se projettent différemment sur les canaux $ I = \tfrac{3}{2} $ et $ I = \tfrac{1}{2} $.

Parmi eux, seul l'état $ \pi^+ + p $ est un état d'isospin pur, associé exclusivement à $ I = \tfrac{3}{2} $. Les deux autres configurations sont des états mixtes, c'est-à-dire des superpositions linéaires de plusieurs canaux d'isospin.

Quelle est la différence entre un état initial pur et un état mixte ?

Lorsque l'état initial est pur, donc caractérisé par un isospin total bien défini, une seule amplitude de diffusion intervient.

Par exemple, pour l'état initial $ \pi^+ + p $, l'amplitude de diffusion est directement donnée par $ \mathcal{M}_{3/2} $.

\[ \mathcal{M} = \mathcal{M}_{3/2} \]

En revanche, lorsque l'état initial est mixte, comme dans le cas de $ \pi^- + p $, plusieurs amplitudes contribuent. Elles s'additionnent de manière cohérente et peuvent interférer entre elles.

\[ \mathcal{M} = c_{3/2} \mathcal{M}_{3/2} + c_{1/2} \mathcal{M}_{1/2} \]

Remarque. Dans certaines situations, même si l'état initial est mixte, la dynamique de l'interaction peut sélectionner de façon effective un seul canal d'isospin, ce qui conduit à une description simplifiée. L'étude de ce mécanisme nécessite une analyse dynamique plus approfondie et n'est pas abordée ici.

Dans tous les cas, le module au carré de l'amplitude de diffusion $ \mathcal{M} $ détermine la section efficace $ \sigma $, qui représente la probabilité que la réaction ait effectivement lieu.

\[ \sigma \propto |\mathcal{M}|^2 \]

Pour une analyse plus détaillée de cet exemple, on peut consulter mes notes sur la diffusion pion-nucléon.

Et ainsi de suite.