Les symétries en physique
En physique, une symétrie est une transformation qui laisse inchangées les lois fondamentales de la nature. Elle traduit une invariance : une propriété qui reste constante, même lorsque le système change d'apparence, de position ou d'orientation.
Le théorème de Noether énonce un principe essentiel : à chaque symétrie continue correspond une quantité conservée. Ce lien entre symétrie et conservation constitue l'un des fondements de la physique moderne et explique la cohérence des lois naturelles.
- Symétrie temporelle
Si les lois de la physique ne dépendent pas du moment où elles s'appliquent, l'énergie se conserve. - Symétrie spatiale
Si les lois sont identiques en tout point de l'espace, la quantité de mouvement reste constante. - Symétrie de rotation
Si les lois ne changent pas avec l'orientation du système, le moment angulaire se conserve.
Par exemple, lorsqu'on fait tourner un système mécanique dans l'espace, les équations qui décrivent son mouvement gardent exactement la même forme. C'est ce qu'on appelle une symétrie de rotation.
Autres exemples. Si une expérience donne les mêmes résultats aujourd'hui qu'elle en donnerait demain, elle possède une symétrie temporelle. Si échanger deux particules identiques ne modifie pas le système, il s'agit d'une symétrie de permutation. Ces symétries, visibles ou cachées, révèlent la structure profonde de la nature.
Les groupes : le langage mathématique de la symétrie
Les symétries ne sont pas isolées : elles peuvent se combiner. En appliquer une après l'autre revient à effectuer une transformation composée unique. L'ensemble de ces transformations forme une structure mathématique appelée groupe.
En algèbre, un groupe est un ensemble de transformations qui obéissent à quatre règles de base :
- Fermeture : la combinaison de deux transformations en donne une nouvelle du même type.
- Associativité : la manière de regrouper les transformations ne change pas le résultat.
- Identité : il existe une transformation qui ne modifie rien.
- Inverse : chaque transformation possède une autre qui la ramène à l'état initial.
Les rotations dans l'espace constituent par exemple le groupe SO(3), formé de matrices orthogonales de déterminant égal à 1.
En physique des particules, d'autres groupes jouent un rôle fondamental, comme SU(2) et SU(3), constitués de matrices unitaires de déterminant 1. Ils décrivent des symétries internes telles que l'isospin ou la charge de couleur.
Autres exemples. Les translations dans l'espace et dans le temps forment un groupe abélien. Les rotations et les transformations relativistes s'unissent dans le groupe de Lorentz. Chaque groupe correspond à un type précis de symétrie dans la nature.
Pour représenter ces symétries, les physiciens utilisent des matrices. Une matrice permet d'exprimer une transformation comme une opération linéaire sur des vecteurs. Par exemple, une rotation dans l'espace tridimensionnel peut être décrite par une matrice orthogonale 3×3 appliquée à un vecteur de position.
Autres exemples. Les transformations de Lorentz s'écrivent à l'aide de matrices 4×4 agissant sur les quadrivecteurs de l'espace-temps. En physique des particules, les symétries d'isospin et de charge de couleur se traduisent par des matrices unitaires appartenant aux groupes SU(2) et SU(3).
Ces matrices obéissent aux mêmes règles de combinaison que les groupes auxquels elles appartiennent : multiplier deux matrices revient à appliquer deux transformations successives. C'est pourquoi on parle de groupes de matrices.
| Concept physique | Structure mathématique | Représentation |
|---|---|---|
| Symétrie d'une loi physique | Groupe de transformations | Matrices agissant sur des vecteurs |
| Invariance (ce qui reste constant) | Propriété du groupe | Quantité conservée (Noether) |
| Transformation physique (rotation, inversion, etc.) | Élément du groupe | Matrice correspondante |
Un exemple concret
Considérons un cas simple : une particule libre se déplaçant dans l'espace tridimensionnel.
Son mouvement ne change pas si l'on fait tourner le système de coordonnées. C'est une symétrie de rotation.
Les rotations forment le groupe SO(3). Chacune est représentée par une matrice orthogonale 3×3 agissant sur le vecteur de position \( \vec{r} = (x, y, z) \).
$$
R(\hat{r}, \theta) =
\begin{pmatrix}
\cos\theta + r_x^2(1 - \cos\theta) & r_x r_y(1 - \cos\theta) - r_z \sin\theta & r_x r_z(1 - \cos\theta) + r_y \sin\theta \\[6pt]
r_y r_x(1 - \cos\theta) + r_z \sin\theta & \cos\theta + r_y^2(1 - \cos\theta) & r_y r_z(1 - \cos\theta) - r_x \sin\theta \\[6pt]
r_z r_x(1 - \cos\theta) - r_y \sin\theta & r_z r_y(1 - \cos\theta) + r_x \sin\theta & \cos\theta + r_z^2(1 - \cos\theta)
\end{pmatrix}.
$$
Cette symétrie explique la conservation du moment angulaire.
$$ R_z(90^\circ)= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$
Si la particule est initialement en \( \mathbf r=(2,\,1,\,0) \), après la rotation on obtient :
$$ \mathbf r' = R_z\,\mathbf r = \begin{pmatrix} -1\\[2pt] 2\\[2pt] 0 \end{pmatrix}. $$
La longueur du vecteur reste la même :
$$ \|\mathbf r\|^2 = 5, \qquad \|\mathbf r'\|^2 = 5. $$
Considérons maintenant la quantité de mouvement \( \mathbf p=(0,\,3,\,0) \). Après rotation :
$$ \mathbf p' = \begin{pmatrix} -3\\[2pt] 0\\[2pt] 0 \end{pmatrix}. $$
Le moment angulaire avant et après la rotation est :
$$ \mathbf L = \mathbf r\times \mathbf p = \begin{pmatrix} 0\\[2pt] 0\\[2pt] 6 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf L' = \mathbf r'\times \mathbf p' = \begin{pmatrix} 0\\[2pt] 0\\[2pt] 6 \end{pmatrix}. $$
Le résultat est le même : le moment angulaire se conserve.
Cet exemple met en évidence deux idées clés. D'abord, les rotations se décrivent à l'aide de matrices orthogonales qui préservent les longueurs et les angles. Ensuite, lorsqu'un système présente une symétrie de rotation, son moment angulaire reste constant. Ce lien entre symétrie et conservation illustre magnifiquement l'unité entre les mathématiques et la physique.
La symétrie n'est pas un simple motif esthétique : elle révèle la cohérence profonde de l'univers et le lien intime entre la structure de l'espace-temps et les lois qui le régissent.
