Théorie des perturbations
La théorie des perturbations est un cadre mathématique qui permet d’approximer des grandeurs physiques lorsque l’interaction est suffisamment faible, en développant le résultat sous forme de puissances de la constante de couplage.
Le principe est simple : lorsqu’un problème physique est trop complexe pour être résolu exactement mais que l’interaction reste modeste, celle-ci peut être traitée comme une légère « perturbation » d’un système plus élémentaire, non interactif.
- On part de la solution exacte d’un système « idéal », sans interaction.
- On ajoute ensuite des corrections successives qui tiennent compte de l’interaction réelle.
- Le résultat final s’écrit comme une série en puissances de la constante de couplage.
Remarque. La théorie des perturbations constitue l’un des outils les plus utilisés en physique théorique, en particulier en théorie quantique des champs. En QED et en QCD, elle sert à calculer des amplitudes de diffusion (probabilités d’interaction), des corrections aux propagateurs (masse, charge, moment magnétique) et des sections efficaces (probabilités de réaction).
Un exemple mathématique élémentaire
Considérons une fonction difficile à évaluer, par exemple :
$$ f(g) = \text{une certaine grandeur physique dépendant d’une constante } g $$
Si $g \ll 1$, autrement dit si $g$ est très petit, on peut la développer ainsi :
$$ f(g) = f_0 + g f_1 + g^2 f_2 + g^3 f_3 + \dots $$
où :
- $f_0$ correspond au résultat sans interaction (ordre zéro).
- $g f_1$ est la première correction induite par l’interaction.
- $g^2 f_2$ est la correction de second ordre, et ainsi de suite.
Un tel développement est appelé série perturbative.
Chaque terme d’une série perturbative peut être représenté graphiquement par un diagramme de Feynman :
| Ordre | Type de diagramme | Interprétation |
|---|---|---|
| 0e ordre | Ligne droite | propagation libre (sans interaction) |
| 1er ordre | Un sommet | échange d’une particule médiatrice |
| 2e ordre | Boucle | corrections quantiques |
| ... | ... | corrections de plus en plus complexes |
Dans des théories quantiques comme la QED ou la QCD, chaque terme de l’expansion correspond à un diagramme de Feynman, représentant un processus d’interaction possible entre particules.
Chaque diagramme apporte un terme proportionnel à une puissance donnée de la constante de couplage.
Notes
Quelques précisions supplémentaires :
- Limites de la théorie des perturbations
La théorie des perturbations n’est valable que lorsque la constante de couplage est petite, autrement dit lorsque l’interaction reste faible.Ainsi, en QED (électrodynamique quantique), la constante de couplage est très faible ( $\alpha \approx \tfrac{1}{137}$ ), car les photons sont neutres. Dans ce cadre, la théorie des perturbations fournit des prédictions d’une précision inégalée. En revanche, en QCD (chromodynamique quantique) à basse énergie, la constante de couplage est grande ( $\alpha_s \sim 1$ ), et la série cesse de converger. Dans ce régime, la théorie des perturbations perd toute efficacité et il faut recourir à des méthodes non perturbatives.
Et ainsi de suite.
