Opérateur de parité

L’opérateur de parité est l’opérateur mathématique qui décrit la réflexion spatiale, c’est-à-dire la transformation qui inverse les coordonnées spatiales d’un système par rapport à l’origine.

Autrement dit, appliquer la parité revient à remplacer une configuration physique par son image miroir, obtenue en inversant l’orientation de l’espace.

Par exemple, si un point de l’espace possède les coordonnées

$$ x = (x, y, z) $$

alors l’action de l’opérateur de parité $ P $ s’écrit

$$ P(x) = (-x, -y, -z) $$

Cette transformation est appelée inversion spatiale.

Appliquer l’opérateur de parité à un système physique revient donc à l’observer comme s’il était réfléchi par rapport à l’origine, et non par rapport à un plan particulier.

D’un point de vue géométrique, il s’agit d’une symétrie centrale. Cette transformation globale inverse simultanément la gauche et la droite, l’avant et l’arrière, ainsi que le haut et le bas.

À quoi sert la parité ?

L’opérateur de parité joue un rôle central en physique, car certaines interactions fondamentales respectent cette symétrie, tandis que d’autres la violent.

• Si un processus physique reste inchangé sous l’action de la parité, on dit que la parité est conservée.
• Si le processus est modifié, on dit que la parité est violée.

L’étude de la parité constitue ainsi un outil essentiel pour comprendre et classer les systèmes physiques et les particules élémentaires.

Remarque. Dans les interactions électromagnétiques et fortes, la parité est conservée. En revanche, dans les interactions faibles, elle est violée. Dans ce cadre, la nature distingue la gauche de la droite. C’est pourquoi il n’existe que des neutrinos gauchers et des antineutrinos droitiers. La violation de la parité révèle l’une des asymétries les plus profondes de la nature.

Propriétés fondamentales

L’opérateur de parité possède plusieurs propriétés fondamentales.

Lorsqu’il est appliqué deux fois de suite, il ramène le système à sa configuration initiale.

$$ P^2 = I $$

où $ I $ désigne l’opérateur identité.

Exemple. Considérons un point de l’espace de coordonnées : \[ \vec r = (2,-1,3) \] L’opérateur de parité inverse toutes les coordonnées : \[ P(\vec r) = (-2,1,-3) \] Cela correspond à une réflexion du point par rapport à l’origine. Si l’on applique à nouveau l’opérateur de parité, on obtient : \[ P(P(\vec r)) = P(-2,1,-3) = (2,-1,3) \] On retrouve ainsi le point initial, ce qui exprime la relation \( P^2 = I \). \[ P^2(\vec r) = \vec r \]

D’un point de vue physique, effectuer deux inversions spatiales successives revient à n’en effectuer aucune. Le système retrouve donc sa configuration initiale.

Pour cette raison, l’opérateur de parité $ P $ ne peut admettre que deux valeurs propres :

• +1, correspondant à un état de parité paire.
• -1, correspondant à un état de parité impaire.

Vecteurs polaires et vecteurs axiaux

L’opérateur de parité permet également de distinguer les vecteurs polaires des vecteurs axiaux.

• Vecteurs polaires
  Un vecteur polaire, comme la position, la vitesse ou la force, change de signe sous une inversion spatiale : $$ P(\vec{v}) = -\vec{v} $$
• Vecteurs axiaux (pseudovecteur)
  Un vecteur axial, également appelé pseudovecteur, comme le moment cinétique ou le champ magnétique, ne change pas de signe sous une inversion spatiale : $$ P(\vec v \times \vec w) = (-\vec v) \times (-\vec w) = \vec v \times \vec w = \vec L $$

  Démonstration. Soit \( \vec L = \vec v \times \vec w \), où \( \vec v \) et \( \vec w \) sont des vecteurs polaires. Sous l’action de l’opérateur de parité \( P \), on a $$ P(\vec v) = -\vec v, \quad P(\vec w) = -\vec w $$ et par conséquent $$ P(\vec L) = \vec L $$ Exemple. Considérons deux vecteurs dans le plan : $$ \vec v = (1,0), \qquad \vec w = (0,1) $$ Leur produit vectoriel est un vecteur perpendiculaire au plan, dirigé selon l’axe z : $$ \vec v \times \vec w = (0,0,1) $$ Ce vecteur est un vecteur axial. En appliquant l’inversion spatiale, on obtient : $$ (x,y) \rightarrow (-x,-y) $$ et donc : $$ P(\vec v) = (-1,0), \quad P(\vec w) = (0,-1) $$ En recalculant le produit vectoriel : $$ P(\vec v) \times P(\vec w) = (-1,0) \times (0,-1) = (0,0,1) $$ Le résultat reste inchangé : $$ P(\vec v \times \vec w) = \vec v \times \vec w $$ La direction du vecteur est conservée. Physiquement, l’inversion spatiale inverse les directions, mais pas le sens de rotation.
  

Scalaires et pseudo-scalaires

L’opérateur de parité permet également de distinguer les grandeurs scalaires des pseudo-scalaires.

• Scalaire
  Une grandeur est dite scalaire lorsqu’elle ne change pas de signe sous une inversion spatiale.

  Exemple. La température en un point vaut \( T = 20^\circ \text{C} \). Si l’on applique une inversion spatiale, la température reste inchangée : $$ P(T) = T $$ La température ne possède ni direction ni orientation spatiale. Elle conserve donc la même valeur et le même signe dans la configuration réfléchie. Il s’agit d’une grandeur scalaire.

• Pseudo-scalaire
  Une grandeur est dite pseudo-scalaire si elle change de signe sous une inversion spatiale.

  Exemple. Considérons trois vecteurs : \[ \vec a = (1,0,0) \\ \vec b = (0,1,0) \\ \vec c = (0,0,1) \] Calculons le produit mixte : \[ S = \vec a \cdot (\vec b \times \vec c) \] Comme \( \vec b \times \vec c = (1,0,0) \), on obtient : \[ S = \vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = 1 \] Appliquons maintenant la parité : \[ P(\vec a) = (-1,0,0), \quad P(\vec b) = (0,-1,0), \quad P(\vec c) = (0,0,-1) \] Calculons alors : \[ P(S) = P(\vec a) \cdot (P(\vec b) \times P(\vec c)) \] \[ P(S) = (-1,0,0) \cdot \big( (0,-1,0) \times (0,0,-1) \big) \] Comme \( (0,-1,0) \times (0,0,-1) = (1,0,0) \), on obtient : \[ P(S) = (-1,0,0) \cdot (1,0,0) = -1 \] Le résultat final change de signe. Il s’agit donc d’un exemple caractéristique de grandeur pseudo-scalaire.

Et ainsi de suite.