Continuité dans la topologie quotient
Dans la topologie quotient, une application surjective \( f : X \to A \) est continue par définition, car un ensemble \( V \subseteq A \) est ouvert si, et seulement si, son image réciproque \( f^{-1}(V) \) est un ouvert de \( X \).
Soit \( X \) un espace topologique, et \( f : X \to A \) une application surjective, où \( A \) est un ensemble arbitraire, sans supposer qu’il soit inclus dans \( X \).
La topologie quotient sur \( A \) est précisément définie de manière à ce que \( f \) soit continue.
En effet, dans la topologie quotient, un sous-ensemble \( V \subseteq A \) est déclaré ouvert si, et seulement si, son image réciproque \( f^{-1}(V) \) est ouverte dans \( X \).
Ainsi, la continuité de \( f \) est automatiquement assurée par la construction même de la topologie quotient.
Remarque : Étant donné que la topologie quotient repose sur la condition d’ouverture des préimages, l’application \( f \) est continue de façon immédiate.
Un exemple concret
Considérons l’espace \( X = \{a, b, c\} \), formé de trois éléments distincts.
Définissons une application surjective \( f : X \to A \), avec \( A = \{1, 2\} \), de la manière suivante :
- \( f(a) = f(b) = 1 \)
- \( f(c) = 2 \).
Autrement dit, l’application \( f \) identifie les points \( a \) et \( b \) en les envoyant tous deux sur le point \( 1 \) de \( A \).
Dans la topologie quotient, un ensemble \( V \subseteq A \) est ouvert si, et seulement si, son image réciproque \( f^{-1}(V) \) est un ouvert de \( X \).
Par exemple, si l’on considère \( V = \{1\} \subseteq A \), alors \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \). Si \( \{a, b\} \) est un ouvert de \( X \), alors \( V \) est également ouvert dans \( A \).
Les ouverts de \( A \) sont donc : \( \emptyset \), \( \{1, 2\} \) et \( \{2\} \).
- \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \), qui est ouvert dans toute topologie
- \( f^{-1}(\{1, 2\}) = \{a, b, c\} \), soit \( X \) tout entier, donc ouvert
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \), ouvert dans \( X \)
- \( f^{-1}(\{2\}) = \{c\} \), également ouvert dans \( X \)
Cela confirme que la topologie quotient définie sur \( A \) garantit que \( f \) est continue, puisque tout ouvert de \( A \) a une préimage ouverte dans \( X \).
En somme, c’est la définition même de la topologie quotient sur \( A \) qui assure la continuité de l’application \( f \).
Et ainsi de suite.
