Continuité de l'application d'inclusion en topologie

Soient $ X $ un espace topologique et $ Y $ une partie de $ X $. L’application d’inclusion $ f : Y \to X $ est définie par $ f(y) = y $ pour tout $ y \in Y $. Cette application est continue.

L’application d’inclusion associe à chaque élément de $ Y $ ce même élément, désormais interprété comme appartenant à l’espace ambiant $ X $ qui le contient.

Autrement dit, $ f $ fait correspondre à chaque point de $ Y $ son image naturelle dans $ X $, sans en modifier la nature.

Du point de vue topologique, cette application est continue.

Remarque : L’application d’inclusion ne doit pas être confondue avec l’application identité. Bien qu’elles partagent la même règle d’affectation, l’inclusion s’effectue entre deux espaces distincts (un sous-ensemble et l’espace total), tandis que l’identité agit au sein d’un seul et même espace.

Pourquoi est-elle continue ?

En topologie, une application est dite continue si l’image réciproque de tout ouvert est un ouvert. En d’autres termes, pour tout ouvert $ U \subset X $, l’ensemble $ f^{-1}(U) $ doit être ouvert dans $ Y $.

Or, selon la définition de la topologie induite, les ouverts de $ Y $ sont précisément les intersections des ouverts de $ X $ avec $ Y $.

$$ f^{-1}(U) = U \cap Y $$

Comme $ f^{-1}(U) = U \cap Y $ est, par construction, un ouvert de $ Y $ dès que $ U $ est ouvert dans $ X $, il s’ensuit que $ f $ est continue.

Remarque : Cette observation illustre clairement que la topologie induite sur $ Y $ est conçue de manière à rendre l’application d’inclusion automatiquement continue.

Un exemple concret

Considérons l’espace topologique $ X = \mathbb{R} $ (la droite réelle), et son sous-ensemble $ Y = (0, 1) $, l’intervalle ouvert entre 0 et 1.

L’application d’inclusion $ f : Y \to X $ est définie par $ f(y) = y $ pour tout $ y \in Y $.

$$ f(y) = y \quad \text{pour tout} \quad y \in (0,1) $$

Intuitivement, cela signifie que l’on « replace » les points de $ Y $ dans le cadre plus large de $ X $.

Dans le contexte de la topologie induite, pour tout ouvert $ U \subset X $, l’intersection $ U \cap Y $ constitue un ouvert de $ Y $.

Par exemple, prenons l’intervalle ouvert $ U = (-1, 0{,}5) \subset \mathbb{R} $, muni de la topologie usuelle.

exemple d’inclusion

L’intersection de cet ouvert avec $ Y = (0, 1) $ donne :

$$ U \cap Y = (-1, 0{,}5) \cap (0, 1) = (0, 0{,}5) $$

On obtient ainsi un ouvert de $ Y $, au sens de la topologie induite.

Par conséquent, puisque pour tout ouvert $ U \subset X $, l’intersection $ U \cap Y $ est ouverte dans $ Y $, on conclut que l’application d’inclusion $ f : Y \to X $ est continue.

Et ainsi de suite.