Continuité définie à partir des ensembles fermés
Soient deux espaces topologiques \( X \) et \( Y \). Une application \( f : X \to Y \) est continue si, et seulement si, l'image réciproque de tout ensemble fermé \( C \subseteq Y \) est un ensemble fermé dans \( X \).
Ce théorème offre une caractérisation équivalente, mais formulée différemment, de la continuité des fonctions entre espaces topologiques.
Traditionnellement, on définit une fonction continue comme une application dont l'image réciproque de tout ouvert de \( Y \) est un ouvert de \( X \).
Cependant, ce résultat montre qu’on peut tout aussi bien caractériser la continuité en termes d’ensembles fermés : une application \( f : X \to Y \) est continue si, pour tout ensemble fermé \( C \subseteq Y \), l'image réciproque \( f^{-1}(C) \) est fermée dans \( X \).
Remarque : Cette propriété met en lumière la dualité entre ouverts et fermés dans la définition de la continuité, puisque tout fermé est le complémentaire d’un ouvert, et réciproquement.
Un exemple concret
Considérons la fonction \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), définie par \( f(x) = x^2 \), munie de la topologie usuelle, où les ouverts sont des intervalles ouverts ou des unions de tels intervalles.
$$ f(x) = x^2 $$
Nous souhaitons vérifier que l’image réciproque de tout ensemble fermé de \( Y \) est un ensemble fermé dans \( X \).
Prenons, par exemple, l’ensemble fermé \( C = [1, +\infty) \subseteq Y \), qui est fermé car il contient sa borne inférieure.
L'image réciproque de \( C \) par \( f \) est :
$$ f^{-1}(C) = \{ x \in \mathbb{R} : x^2 \in [1, +\infty) \} = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $$
Ce sous-ensemble est fermé dans \( \mathbb{R} \), car l’union de deux ensembles fermés reste fermée dans la topologie usuelle.
Étant donné que l’image réciproque de \( [1, +\infty) \), fermé dans \( Y \), est également fermée dans \( X \), la condition de continuité est bien satisfaite.
En appliquant ce raisonnement à tout ensemble fermé de \( Y \), on conclut que la fonction \( f(x) = x^2 \) est continue.
Démonstration
La démonstration se décompose en deux étapes : on montre d’abord que si \( f \) est continue, alors l’image réciproque de tout fermé est fermée ; puis, on prouve que si cette propriété est vérifiée, alors \( f \) est continue.
1] (⇒) Si \( f \) est continue, alors pour tout fermé \( C \subseteq Y \), l’image réciproque \( f^{-1}(C) \) est fermée :
Par définition, si \( f \) est continue, alors pour tout ouvert de \( Y \), son image réciproque est un ouvert dans \( X \).
Soit \( C \subseteq Y \) un ensemble fermé. Son complémentaire \( Y \setminus C \) est un ouvert de \( Y \).
Comme \( f \) est continue, l’image réciproque \( f^{-1}(Y \setminus C) \) est un ouvert de \( X \).
Or, on a l’égalité \( f^{-1}(Y \setminus C) = X \setminus f^{-1}(C) \), puisque l’image réciproque d’un complémentaire est le complémentaire de l’image réciproque.
Donc, si \( X \setminus f^{-1}(C) \) est ouvert, alors \( f^{-1}(C) \) est fermé dans \( X \).
On en déduit que, si \( f \) est continue, l’image réciproque de tout fermé est un fermé.
2] (⇐) Si l’image réciproque de tout fermé est fermée, alors \( f \) est continue :
Supposons que, pour tout fermé \( C \subseteq Y \), l’image réciproque \( f^{-1}(C) \) soit un fermé dans \( X \).
Soit \( U \subseteq Y \) un ouvert. Son complémentaire \( Y \setminus U \) est un fermé de \( Y \).
D’après l’hypothèse, \( f^{-1}(Y \setminus U) \) est fermé dans \( X \).
Or, \( f^{-1}(Y \setminus U) = X \setminus f^{-1}(U) \), donc \( f^{-1}(U) \) est un ouvert dans \( X \).
Par conséquent, \( f \) est continue.
3] Conclusion
Nous avons démontré les deux implications. Ainsi, une application \( f : X \to Y \) est continue si, et seulement si, l’image réciproque de tout ensemble fermé \( C \subseteq Y \) est un ensemble fermé dans \( X \).
Ce qui conclut la démonstration.
