Durée de vie, largeur de désintégration et taux de désintégration des particules
La durée de vie ( \( \tau \) ) d'une particule correspond au temps moyen qui s'écoule avant sa désintégration. Cette grandeur statistique mesure sa stabilité. Elle est inversement proportionnelle à sa largeur de désintégration. $$ \tau = \frac{1}{\Gamma} $$
Lorsqu'une particule instable est produite, il est impossible de savoir exactement quand elle se désintégrera. La désintégration est un phénomène fondamentalement probabiliste.
Ainsi, deux muons créés au même instant peuvent disparaître à des moments complètement différents.
C'est pourquoi les physiciens ne cherchent pas à prévoir le destin d'une particule individuelle. Ils étudient plutôt le comportement moyen d'un grand nombre de particules identiques afin d'en déterminer la durée de vie.
Par convention, la durée de vie d'une particule est notée \( \tau \).
L'étude des durées de vie joue un rôle central en physique des particules. Elle permet de comprendre comment les particules instables se transforment en d'autres particules et d'évaluer la probabilité des différents mécanismes de désintégration.
Remarque. La physique des particules s'intéresse principalement à trois grandes catégories de phénomènes : les états liés, les désintégrations et les processus de diffusion. La mécanique quantique non relativiste décrit efficacement de nombreux états liés, tandis que la théorie quantique relativiste des champs constitue le cadre théorique de référence pour l'étude des désintégrations et des phénomènes de diffusion à haute énergie.
Comme la désintégration est un phénomène probabiliste, l'issue d'un événement individuel ne peut être prédite avec certitude. En revanche, l'analyse statistique d'un grand nombre de particules permet de déterminer expérimentalement leur durée de vie à partir de leur taux de désintégration.
Le taux de désintégration, noté \( \Gamma \), représente la probabilité par unité de temps qu'une particule se désintègre. En théorie quantique des champs, cette grandeur est également appelée largeur de désintégration (ou largeur de décroissance).
Les particules n'ont pas de mémoire
L'une des propriétés les plus remarquables des particules instables est que leur probabilité de désintégration ne dépend pas de leur âge.
Une particule créée à l'instant même et une autre qui existe depuis beaucoup plus longtemps possèdent exactement la même probabilité de se désintégrer au cours de l'instant suivant. En d'autres termes, les particules ne gardent aucune trace du temps écoulé depuis leur création.
Par exemple, un muon fraîchement produit et un muon beaucoup plus ancien ont la même probabilité de se désintégrer dans l'instant qui suit.
Remarque. Ce comportement est très différent de ce que nous observons dans la vie quotidienne. Une personne de 80 ans a généralement une espérance de vie plus faible qu'une personne de 20 ans. Les particules instables ne se comportent pas de cette manière. Pour elles, l'âge n'a aucune influence. Une particule « jeune » et une particule « vieille » présentent toujours la même probabilité de désintégration pendant un intervalle de temps donné.
Cette propriété explique pourquoi la durée de vie d'une particule est inversement proportionnelle à sa largeur de désintégration.
$$ \tau = \frac{1}{\Gamma} $$
Plus la largeur de désintégration est grande, plus la particule se désintègre rapidement et plus sa durée de vie est courte. À l'inverse, une faible largeur de désintégration correspond à une durée de vie plus longue.
Exemple de calcul de la durée de vie
Supposons que le taux de désintégration d'un muon soit égal à
\[ \Gamma = 0.1 \ \text{s}^{-1} \]
Sa durée de vie vaut alors
\[ \tau=\frac{1}{\Gamma}=\frac{1}{0.1}=10 \ \text{s} \]
Cette valeur ne signifie pas que tous les muons survivent exactement 10 secondes. Elle indique simplement que, sur un très grand nombre de muons, la durée de vie moyenne observée est de 10 secondes.
Remarque. Les valeurs utilisées dans cet exemple ont été volontairement choisies pour simplifier les calculs. En réalité, la durée de vie d'un muon est beaucoup plus courte, de l'ordre de \( 2.2 \times 10^{-6} \) seconde, soit 2,2 microsecondes. Cela ne signifie toutefois pas que tous les muons survivent exactement pendant cette durée. La désintégration reste un phénomène aléatoire. Un muon peut se désintégrer après \( 10^{-7} \) seconde, un autre après \( 5 \times 10^{-6} \) secondes et un autre encore après \( 10^{-5} \) secondes. Ce qui peut être prédit, ce n'est pas le comportement d'une particule isolée, mais celui d'une population très nombreuse de particules.
Loi de désintégration exponentielle
Le nombre de particules survivantes diminue exponentiellement au cours du temps. Cette évolution est décrite par la loi de désintégration exponentielle.
L'équation s'écrit
\[ N(t)=N(0)e^{-\Gamma t} \]
où \( N(0) \) est le nombre initial de particules, \( N(t) \) le nombre de particules encore présentes à l'instant \( t \), et \( \Gamma \) le taux de désintégration.
Cette relation montre que le nombre de particules survivantes décroît continuellement avec le temps selon une loi exponentielle.
Considérons par exemple une population initiale de \( N(0)=1000 \) particules avec un taux de désintégration de \( \Gamma = 0.1 \ \text{s}^{-1} \). Après \( t=10 \) secondes, il reste environ 368 particules.
\[N(t)=N(0)e^{-\Gamma t} \]
\[ N(10)=1000 \cdot e^{-0.1 \cdot 10} \]
\[ N(10)=1000 \cdot e^{-1} \]
Comme \( e^{-1}\approx 0.367879 \), on obtient
\[ N(10)\approx 1000 \cdot 0.367879 \]
\[ N(10)\approx 367.879 \]
\[ N(10)\approx 368 \]
Après 10 secondes, environ 368 particules subsistent. Les 632 autres se sont déjà désintégrées.
Démonstration. Supposons qu'à l'instant \( t \), \( N \) particules soient présentes. Pendant un intervalle infinitésimal \( dt \), le nombre de particules qui se désintègrent est proportionnel au nombre de particules présentes ainsi qu'au taux de désintégration \( \Gamma \). On obtient alors l'équation fondamentale \[ dN=-\Gamma N\,dt \] Le signe négatif traduit la diminution progressive du nombre de particules. La résolution de cette équation différentielle conduit directement à la loi de désintégration exponentielle \[ N(t)=N(0)e^{-\Gamma t} \]
Canaux de désintégration
Une même particule peut souvent se désintégrer de plusieurs manières différentes. Ces différentes possibilités sont appelées canaux de désintégration.
Chaque canal possède son propre taux partiel de désintégration \( \Gamma_i \).
Par exemple, le pion chargé positif se désintègre principalement selon le canal \( \pi^+ \rightarrow \mu^+ + \nu_\mu \), même si d'autres modes de désintégration existent également avec des probabilités plus faibles.
Si une particule peut se désintégrer selon \( n \) canaux différents, le taux total de désintégration est égal à la somme des taux partiels associés à chacun d'eux.
\[ \Gamma_{\text{tot}}=\sum_{i=1}^{n}\Gamma_i \]
La durée de vie de la particule dépend donc du taux total :
\[ \tau=\frac{1}{\Gamma_{\text{tot}}} \]
Pour déterminer correctement la durée de vie d'une particule, il faut donc tenir compte de tous les canaux de désintégration accessibles.
Exemple. Supposons qu'une particule puisse se désintégrer selon deux canaux :
- Canal A : \( \Gamma_1 = 2\ \text{s}^{-1} \)
- Canal B : \( \Gamma_2 = 3\ \text{s}^{-1} \)
Le taux total de désintégration est
\[ \Gamma_{\text{tot}}=\Gamma_1+\Gamma_2=(2+3)\,\text{s}^{-1}=5\ \text{s}^{-1} \]
La durée de vie correspondante est
\[ \tau=\frac{1}{\Gamma_{\text{tot}}}=\frac{1}{5}=0.2\ \text{s} \]
Même si chaque canal contribue différemment au processus de désintégration, la durée de vie dépend uniquement du taux total obtenu en additionnant toutes les contributions.
Rapports d'embranchement
Connaître la durée de vie d'une particule ne suffit pas toujours. Il est souvent nécessaire de savoir avec quelle fréquence chaque canal de désintégration est emprunté.
Cette information est fournie par le rapport d'embranchement.
Pour le \( i \)-ième canal de désintégration, il est défini par
\[ BR_i=\frac{\Gamma_i}{\Gamma_{\text{tot}}} \]
Le rapport d'embranchement représente la fraction de toutes les désintégrations qui se produisent par un canal donné.
Exemple concret
Supposons qu'une particule possède deux canaux de désintégration :
\[ \Gamma_1=6 \]
\[ \Gamma_2=4 \]
Le taux total de désintégration vaut
\[ \Gamma_{\text{tot}}=6+4=10 \]
Les rapports d'embranchement sont alors
\[ BR_1=\frac{6}{10}=0.6 \]
\[ BR_2=\frac{4}{10}=0.4 \]
Cela signifie que 60 % des désintégrations se produisent par le premier canal, tandis que 40 % passent par le second.
Les rapports d'embranchement indiquent donc la fréquence relative de chacun des canaux de désintégration possibles.
Conclusion
En pratique, deux grandeurs suffisent à décrire l'essentiel des propriétés liées à la désintégration des particules :
- Taux total de désintégration et durée de vie
Ils indiquent à quelle vitesse une particule se désintègre (\( \Gamma \) ou \( \tau \)). - Rapports d'embranchement
Ils précisent quels états finaux sont produits et avec quelle probabilité.
La durée de vie est déterminée par le taux total de désintégration, tandis que les rapports d'embranchement décrivent la manière dont les désintégrations se répartissent entre les différents canaux possibles.
Ensemble, ces grandeurs fournissent une description statistique complète du comportement des particules instables et de leurs modes de désintégration.
