Équivalence entre un Ensemble Ouvert et son Intérieur
Un ensemble \( A \) d’un espace topologique \( X \) est ouvert si, et seulement si, il coïncide avec son intérieur : $$ A = \text{Int}(A) $$
Autrement dit, \( A \) est ouvert si chaque point de \( A \) admet un voisinage ouvert entièrement inclus dans \( A \).
Ainsi, \( A \) est ouvert si, et seulement si, \( A = \text{Int}(A) \), c’est-à-dire s’il contient tous les ouverts inclus dans lui-même.
L’intérieur d’un ensemble, \( \text{Int}(A) \), est le plus grand ouvert inclus dans \( A \), obtenu comme l’union de tous les ouverts contenus dans \( A \).
Exemple Illustratif
Considérons l’espace topologique \( \mathbb{R} \) muni de la topologie usuelle, où tout intervalle ouvert est un ouvert de \( \mathbb{R} \).
Nous allons examiner deux ensembles afin de vérifier, à l’aide de la caractérisation \( A = \text{Int}(A) \), s’ils sont ouverts.
Exemple 1
Soit l’intervalle ouvert \( A = (0, 1) \)
$$ A = (0, 1) $$
Son intérieur est lui-même :
$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$
Comme \( A \) coïncide avec son intérieur, il s’ensuit que \( A \) est ouvert.
Exemple 2
Considérons maintenant l’intervalle fermé \( B = [0,1] \)
$$ B = [0, 1] $$
L’intérieur de \( B \) est l’intervalle ouvert \( (0,1) \), excluant les bornes.
$$ \text{Int}(B) = (0,1) $$
Ici, \( B \ne \text{Int}(B) \), donc \( B \) n’est pas un ouvert.
Remarque : Ces exemples montrent comment la notion d’intérieur permet de caractériser l’ouverture d’un ensemble.
Démonstration
Nous allons démontrer que pour tout ensemble \( A \subseteq X \), \( A \) est ouvert si, et seulement si, \( A = \text{Int}(A) \).
La démonstration se décompose en deux implications :
1] Si \( A \) est ouvert, alors \( \text{Int}(A) = A \)
Supposons \( A \) ouvert. Par définition, tout point \( x \in A \) possède un voisinage ouvert \( U \subseteq A \).
Ces points appartiennent donc à \( \text{Int}(A) \), ce qui implique :
$$ A \subseteq \text{Int}(A) $$
Mais comme \( \text{Int}(A) \) est, par construction, contenu dans \( A \), on a aussi :
$$ \text{Int}(A) \subseteq A $$
La double inclusion donne l’égalité :
$$ A = \text{Int}(A) $$
2] Si \( A = \text{Int}(A) \), alors \( A \) est ouvert
Supposons maintenant que \( A = \text{Int}(A) \).
Soit \( x \in A \). Alors \( x \in \text{Int}(A) \), donc par définition, il existe un ouvert \( U \subseteq A \) tel que \( x \in U \).
Chaque point de \( A \) possède donc un voisinage ouvert inclus dans \( A \), ce qui signifie que \( A \) est ouvert.
3] Conclusion
On a donc établi l’équivalence suivante : un ensemble \( A \subseteq X \) est ouvert si, et seulement si, il est égal à son intérieur, c’est-à-dire : $$ A = \text{Int}(A) $$
Ce résultat constitue un critère fondamental pour identifier les ouverts dans un espace topologique.
