Équivalence Topologique des Produits d’Espaces
Soient \(X\), \(Y\) et \(Z\) des espaces topologiques. Les produits suivants $$ (X \times Y) \times Z $$ $$ X \times (Y \times Z) $$ $$ X \times Y \times Z $$ sont tous topologiquement équivalents : $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$
Autrement dit, quelle que soit la manière dont on regroupe les facteurs dans un produit cartésien, l’espace topologique obtenu reste inchangé.
En d’autres termes, le produit cartésien d’espaces topologiques est une opération associative.
Remarque : Cette propriété s’avère particulièrement utile, car elle permet de manipuler des produits de plusieurs espaces topologiques sans avoir à se soucier ni de l’ordre ni du regroupement des facteurs.
Un Exemple Concret
Pour illustrer l’équivalence topologique des produits, considérons des espaces familiers tels que \(\mathbb{R}\) (muni de la topologie usuelle) et \(\mathbb{R}^2\) (le plan cartésien muni de la topologie produit).
Considérons trois exemplaires de l’espace \(\mathbb{R}\) :
- \(X = \mathbb{R}\)
- \(Y = \mathbb{R}\)
- \(Z = \mathbb{R}\)
Examinons maintenant différentes façons de former leur produit :
- Produit \((X \times Y) \times Z\)
On commence par former \(X \times Y\), ce qui donne le plan \(\mathbb{R}^2\). En prenant ensuite le produit avec \(Z\), on obtient \(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}\), constitué des triplets \(((x, y), z)\), avec \(x, y, z \in \mathbb{R}\). Cet espace est homéomorphe à \(\mathbb{R}^3\). - Produit \(X \times (Y \times Z)\)
On commence cette fois par \(Y \times Z = \mathbb{R}^2\), puis on prend le produit avec \(X\), soit \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2\), dont les éléments sont des triplets \((x, (y, z))\). Là encore, l’espace obtenu est homéomorphe à \(\mathbb{R}^3\). - Produit \(X \times Y \times Z\)
Enfin, on peut considérer directement le produit des trois espaces, donnant les triplets \((x, y, z)\) avec \(x, y, z \in \mathbb{R}\). Cet espace est naturellement homéomorphe à \(\mathbb{R}^3\).
Dans chacun de ces cas, on obtient un espace topologique homéomorphe à \(\mathbb{R}^3\).
La manière de regrouper les facteurs ou l’ordre dans lequel on effectue les produits n’a donc aucune incidence sur la topologie finale, ce qui confirme l’équivalence entre ces différentes constructions.
Cet exemple montre de façon claire et concrète que, quelle que soit l’association choisie, le produit cartésien des espaces conduit à un même espace topologique, à homéomorphisme près.
