Fermeture du Complément et Complément de l’Intérieur d’un Ensemble
La fermeture du complément d’un ensemble \( A \) est égale au complément de l’intérieur de \( A \) : $$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Cette égalité révèle une dualité remarquable entre les notions de fermeture et d’intérieur, lorsqu’on les considère dans le cadre des compléments d’ensembles d’un espace topologique.
Un Exemple Concret
Considérons l’espace topologique \( X = \mathbb{R} \) muni de la topologie usuelle, où les ouverts sont des unions d’intervalles ouverts.
Prenons par exemple l’ensemble \( A \subseteq X = \mathbb{R} \), défini comme l’intervalle fermé \( A = [1,2] \).
Pour vérifier l’égalité précédente, nous procéderons en deux étapes : nous calculerons d’abord la fermeture du complément de \( A \), puis le complément de l’intérieur de \( A \).
1] Fermeture du Complément de \( A \)
Le complément de \( A \) dans \( \mathbb{R} \) est : $$ X - A = \mathbb{R} - [1,2] = (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $$
Pour déterminer sa fermeture, on ajoute les points d’adhérence de \( (-\infty, 1) \cup (2, \infty) \).
On observe que le complément de \( A \) est une union d’ouverts, et que les points \( 1 \) et \( 2 \) en sont des points d’adhérence, car tout voisinage de \( 1 \) contient des points de \( (-\infty,1) \), et tout voisinage de \( 2 \) contient des points de \( (2, \infty) \).
Par conséquent, la fermeture du complément de \( A \) est :
$$ \text{Cl}(X - A) = \text{Cl}((-\infty, 1) \cup (2, \infty)) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
2] Complément de l’Intérieur de \( A \)
L’intérieur de \( A = [1,2] \) est le plus grand ouvert inclus dans \( A \), à savoir : $$ \text{Int}(A) = (1,2) $$
Son complément dans \( \mathbb{R} \) est alors :
$$ X - \text{Int}(A) = \mathbb{R} - (1,2) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
3] Conclusion
On obtient bien le même résultat dans les deux cas :
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
$$ X - \text{Int}(A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
Ce qui confirme l’égalité suivante :
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Démonstration
Soit \( A \subseteq X \) un sous-ensemble d’un espace topologique \( X \).
La fermeture du complément de \( A \) comprend tous les points de \( X - A \), ainsi que leurs points d’adhérence :
$$ \text{Cl}(X - A) $$
Inversement, le complément de l’intérieur de \( A \) contient tous les points qui ne sont pas intérieurs à \( A \) :
$$ X - \text{Int}(A) $$
Pour démontrer que \(\text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A)\), il suffit d’établir les deux inclusions suivantes :
- \( \text{Cl}(X - A) \subseteq X - \text{Int}(A) \)
Si un point \( x \) appartient à \( \text{Cl}(X - A) \), alors tout voisinage de \( x \) contient au moins un point de \( X - A \). Cela implique que \( x \) ne peut pas être un point intérieur de \( A \), car sinon il existerait un voisinage de \( x \) entièrement contenu dans \( A \). Ainsi, \( x \notin \text{Int}(A) \), donc \( x \in X - \text{Int}(A) \). - \( X - \text{Int}(A) \subseteq \text{Cl}(X - A) \)
Si un point \( x \) appartient à \( X - \text{Int}(A) \), alors \( x \) n’est pas intérieur à \( A \). Cela signifie que tout voisinage de \( x \) contient au moins un point n’appartenant pas à \( A \), donc un point de \( X - A \). Par conséquent, \( x \in \text{Cl}(X - A) \).
Les deux inclusions étant établies, on conclut que :
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Cette propriété met en lumière la dualité profonde entre les notions de fermeture et d’intérieur, dans le contexte des ensembles complémentaires.
La démonstration est ainsi achevée.
