La frontière comme intersection de l’adhérence d’un ensemble et de celle de son complémentaire
Soit \( A \) une partie d’un espace topologique \( X \). On définit la frontière \( \partial A \) comme l’ensemble des points appartenant à la fois à l’adhérence de \( A \) et à celle de son complémentaire : $$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$
Autrement dit, la frontière d’un ensemble \( A \) correspond à l’intersection entre l’adhérence de \( A \) et celle de \( X \setminus A \).
Cette intersection, \(\text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A)\), regroupe les points qui sont adhérents à la fois à \( A \) et à son complémentaire. Ce sont précisément ces points qui se trouvent à la "limite" des deux ensembles, ce qui justifie qu’ils constituent la frontière de \( A \).
Exemple concret
Considérons l’ensemble \( A = (0, 1) \), c’est-à-dire l’intervalle ouvert entre 0 et 1 sur la droite réelle \(\mathbb{R}\).
L’adhérence de cet intervalle inclut tous les points compris entre 0 et 1, bornes incluses :
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
Le complémentaire de \( A \) dans \(\mathbb{R}\) est \( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \), dont l’adhérence est :
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
La frontière de \( A \) est donc donnée par l’intersection des deux adhérences :
$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
On en déduit que la frontière de l’intervalle \( (0, 1) \) est formée des points \( 0 \) et \( 1 \), qui sont précisément les bornes de l’ensemble dans \(\mathbb{R}\).
Démonstration
Par définition, la frontière \(\partial A\) d’un sous-ensemble \( A \subseteq X \) est constituée des points \( x \in X \) tels que tout voisinage de \( x \) intersecte à la fois \( A \) et son complémentaire \( X \setminus A \) :
$$ \partial A = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x),\ U \cap A \neq \emptyset \ \text{et} \ U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \} $$
où \(\mathcal{N}(x)\) désigne la famille des voisinages de \( x \).
Avant de passer à la démonstration rigoureuse, rappelons les définitions de l’adhérence :
- L’adhérence de \( A \), notée \( \text{Cl}(A) \), est l’ensemble des points \( x \in X \) tels que tout voisinage de \( x \) intersecte \( A \) :
\[ \text{Cl}(A) = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x),\ U \cap A \neq \emptyset \} \] - De manière analogue, l’adhérence du complémentaire de \( A \) est :
\[ \text{Cl}(X \setminus A) = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x),\ U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \} \]
La démonstration se décompose en deux étapes :
1] Montrons que \( \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \)
Soit \( x \in \partial A \). Par définition, tout voisinage de \( x \) intersecte à la fois \( A \) et \( X \setminus A \). Il en résulte que :
- \( x \in \text{Cl}(A) \), puisque ses voisinages rencontrent \( A \).
- \( x \in \text{Cl}(X \setminus A) \), puisque ces mêmes voisinages rencontrent aussi le complémentaire.
On a donc \( x \in \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \), ce qui prouve que :
$$ \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$
2] Montrons que \( \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A \)
Soit \( x \in \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \).
- Puisque \( x \in \text{Cl}(A) \), tout voisinage de \( x \) intersecte \( A \).
- Et comme \( x \in \text{Cl}(X \setminus A) \), tout voisinage de \( x \) intersecte aussi le complémentaire.
On en déduit que \( x \) satisfait la condition pour appartenir à la frontière :
$$ x \in \partial A $$
Ce qui permet d’affirmer que :
$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A $$
3] Conclusion
Puisque les deux inclusions sont vérifiées :
- $ \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $
- $ \partial A \supseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $
On en conclut l’égalité suivante :
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$
Ce qui achève la démonstration.
Et ainsi se poursuit l’exposé.
