Frontière vide et ensembles clopens
La frontière \(\partial A\) d’un ensemble \(A\) est vide si, et seulement si, \(A\) est à la fois ouvert et fermé (clopen) : $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ est clopen} $$
Autrement dit, \(A\) ne possède aucun point frontière, c’est-à-dire aucun point appartenant simultanément à l’adhérence de \(A\) et à celle de son complémentaire.
Exemples
Exemple 1
Considérons l’ensemble vide \( A = \emptyset \), dans l’espace topologique \(\mathbb{R}\) muni de la topologie usuelle.
Vérifions si sa frontière est vide :
$$ \text{Cl}(A) = \emptyset $$
Le complémentaire est \(A^c = \mathbb{R}\), dont l’adhérence est tout \(\mathbb{R}\), puisque c’est un fermé :
$$ \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} $$
On a donc :
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset \cap \mathbb{R} = \emptyset $$
La frontière est vide, ce qui signifie que \(A\) est clopen. En effet, l’ensemble vide est par définition ouvert, et également fermé, car il contient tous ses points d’adhérence (il n’en possède aucun).
Exemple 2
Considérons maintenant \( A = \mathbb{R} \) lui-même, toujours muni de la topologie usuelle.
Son adhérence est :
$$ \text{Cl}(A) = \mathbb{R} $$
Son complémentaire est \(A^c = \emptyset\), dont l’adhérence est également vide :
$$ \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
D’où :
$$ \partial A = \mathbb{R} \cap \emptyset = \emptyset $$
On retrouve donc un ensemble clopen : \(A\) est ouvert, et fermé car il contient tous ses points limites.
Exemple 3
Soit maintenant \(A = [0,1)\), toujours dans \(\mathbb{R}\) avec la topologie usuelle.
L’adhérence de \(A\) est \([0,1]\), tandis que son complémentaire est \(A^c = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)\).
L’adhérence de \(A^c\) est donc :
$$ \text{Cl}(A^c) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
La frontière de \(A\) est :
$$ \partial A = [0,1] \cap \left( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \right) = \{0, 1\} $$
Dans ce cas, la frontière n’est pas vide : \(A\) n’est donc pas clopen. En réalité, \(A = [0,1)\) est semi-ouvert : ni ouvert ni fermé dans \(\mathbb{R}\) muni de sa topologie usuelle.
Ces exemples illustrent bien que la frontière d’un ensemble est vide si, et seulement si, cet ensemble est à la fois ouvert et fermé, autrement dit clopen.
Démonstration
Par définition, la frontière d’un ensemble \(A\) s’écrit :
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$
Nous allons établir l’équivalence suivante : $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ est clopen} $$ en démontrant séparément les deux implications.
1] Si la frontière est vide, alors \(A\) est ouvert et fermé (clopen)
Supposons que :
$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
Alors les deux adhérences sont disjointes.
\(A\) est-il fermé ?
On en déduit :
$$ \text{Cl}(A) \subseteq \left( \text{Cl}(A^c) \right)^c \subseteq (A^c)^c = A $$
Mais on a toujours \( A \subseteq \text{Cl}(A) \), donc :
$$ \text{Cl}(A) = A $$
Ce qui prouve que \(A\) est fermé.
\(A\) est-il ouvert ?
De manière analogue :
$$ \text{Cl}(A^c) \subseteq A^c $$
Donc \(A^c\) est fermé, ce qui implique que \(A\) est ouvert.
On conclut que si la frontière de \(A\) est vide, alors \(A\) est à la fois ouvert et fermé : il est clopen.
2] Si \(A\) est clopen, alors sa frontière est vide
Supposons maintenant que \(A\) soit clopen.
Alors :
$$ A = \text{Cl}(A), \quad A^c = \text{Cl}(A^c) $$
Donc :
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = A \cap A^c $$
Mais l’intersection d’un ensemble avec son complémentaire est toujours vide :
$$ \partial A = \emptyset $$
3] Conclusion
Nous avons démontré rigoureusement que : $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ est clopen} $$
Ce qu’il fallait démontrer.
