Inclusion d’Ouverts dans l’Intérieur d’un Ensemble
Si \( U \) est un ouvert d’un espace topologique \( X \) et que \( U \subseteq A \), alors \( U \) est contenu dans l’intérieur de \( A \) : $$ U \subseteq \text{Int}(A) $$
L’intérieur de \( A \), noté \(\text{Int}(A)\), est le plus grand ouvert inclus dans \( A \).
Par conséquent, tout ouvert \( U \) inclus dans \( A \) est nécessairement contenu dans \(\text{Int}(A)\), qui regroupe tous les ouverts inclus dans \( A \).
$$ \text{Int}(A) = \bigcup \{ O \subseteq A \mid O \text{ est ouvert dans } X \} $$
Or, \( U \) fait partie de cette famille d’ouverts, puisqu’il vérifie les conditions de l’union.
Un Exemple Concret
Considérons deux ensembles \( U \) et \( A \) dans l’espace topologique \( \mathbb{R} \), muni de sa topologie usuelle, où les ouverts sont les intervalles ouverts (ainsi que leurs unions arbitraires).
$$ U = (1, 2) $$
$$ A = [0, 3] $$
L’ensemble \( U = (1, 2) \) est un ouvert, car il s’agit d’un intervalle ouvert de \(\mathbb{R}\), donc un élément de la topologie standard.
De plus, \( U \subseteq A \) puisque chaque point de \( U \) appartient également à \( A \).
L’intérieur de \( A = [0, 3] \), noté \(\text{Int}(A)\), est le plus grand ouvert contenu dans \( A \), à savoir l’intervalle \((0, 3)\).
$$ \text{Int}(A) = (0,3) $$
Il est donc clair que \( U = (1, 2) \) est inclus dans \((0, 3)\), c’est-à-dire :
$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$
On vérifie ainsi que tout ouvert \( U \subseteq A \) est nécessairement contenu dans l’intérieur de \( A \).
Démonstration
Soit \( X \) un espace topologique, \( A \subseteq X \), et \( U \) un ouvert de \( X \) tel que \( U \subseteq A \).
Les hypothèses sont :
- \( U \) est un ouvert de \( X \) ;
- \( U \subseteq A \).
D’après la définition, l’intérieur de \( A \) est l’union de tous les ouverts contenus dans \( A \).
Comme \( U \) satisfait ces deux conditions, il appartient à cette famille d’ouverts dont l’union forme \(\text{Int}(A)\).
Il s’ensuit que \( U \subseteq \text{Int}(A) \).
Autrement dit, tout ouvert inclus dans un ensemble \( A \) est également inclus dans l’intérieur de \( A \).
La propriété est ainsi démontrée.
