Inclusion des Intérieurs en Topologie

Si un ensemble \( A \) est inclus dans un ensemble \( B \), alors l’intérieur de \( A \) est également inclus dans l’intérieur de \( B \) : $$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Ce résultat découle immédiatement du fait que tout ouvert inclus dans \( A \) l’est aussi dans \( B \).

Autrement dit, l’opérateur intérieur est compatible avec l’inclusion des ensembles.

Exemple Illustratif

Considérons deux ensembles \( A \) et \( B \) dans \( \mathbb{R} \), muni de la topologie usuelle.

$$ A = [1, 3] $$

$$ B = [0, 4] $$

Il est évident que \( A \subseteq B \) :

$$ A \subseteq B $$

Dans la topologie standard de \( \mathbb{R} \), l’intérieur d’un ensemble correspond à la réunion de tous les ouverts qu’il contient.

• Intérieur de A
  L’ensemble \( A = [1, 3] \) contient l’intervalle ouvert \( (1, 3) \), d’où : \[
  \text{Int}(A) = (1, 3)
  \]
• Intérieur de B
  De même, \( B = [0, 4] \) contient l’ouvert \( (0, 4) \), donc : \[
  \text{Int}(B) = (0, 4)
  \]

On constate alors que \( \text{Int}(A) = (1, 3) \) est bien inclus dans \( \text{Int}(B) = (0, 4) \).

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Ce cas concret illustre clairement que l’inclusion entre ensembles se transmet à leurs intérieurs dans \( \mathbb{R} \) muni de sa topologie usuelle.

Démonstration

Soient \( A \) et \( B \) deux sous-ensembles d’un espace topologique \( X \), tels que \( A \subseteq B \).

Nous voulons montrer que \( \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) \).

Par définition, l’intérieur d’un ensemble \( A \), noté \( \text{Int}(A) \), est la réunion de tous les ouverts inclus dans \( A \).

Il s’agit donc du plus grand ouvert contenu dans \( A \).

Comme \( A \subseteq B \), tout ouvert contenu dans \( A \) est automatiquement inclus dans \( B \).

Par conséquent, \( \text{Int}(A) \) est un ouvert inclus dans \( B \).

Or, \( \text{Int}(B) \) est, par définition, le plus grand ouvert contenu dans \( B \), ce qui implique :

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

On en conclut que l’opération d’intérieur préserve l’ordre d’inclusion entre sous-ensembles.

La démonstration est donc complète.