Intersection d’ensembles ouverts dans la topologie quotient

Dans le cadre d’une topologie quotient, la préimage d’une intersection finie d’ensembles ouverts $ U_i $ est égale à l’intersection des préimages correspondantes, lesquelles sont ouvertes dans la topologie initiale $ X $ : $$ p^{-1}\left( \bigcap U_i \right) = \bigcap p^{-1}(U_i) $$ Il en découle que toute intersection finie d’ouverts reste un ouvert dans la topologie quotient.

Exemple concret

Considérons l’espace quotient usuel $ A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, que l’on peut interpréter intuitivement comme un cercle.

L’espace de départ est $ \mathbb{R} $, muni de sa topologie standard, et l’application quotient $ p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ associe à chaque réel sa partie fractionnaire.

Dans cette construction, le quotient s’identifie à l’intervalle semi-ouvert [0,1), où les extrémités 0 et 1 sont identifiées.

Par exemple, les réels 0{,}3, 1{,}3 et 2{,}3 sont tous projetés sur le même point 0{,}3 du cercle.

visualisation graphique de R mod Z

Considérons à présent deux ouverts de l’espace quotient $ A $ :

$$ U_1 = (0{,}1, 0{,}5) $$

$$ U_2 = (0{,}3, 0{,}7) $$

Ces intervalles sont bien des ouverts dans $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, c’est-à-dire dans la topologie quotient considérée.

Leur intersection s’écrit simplement :

$$ U_1 \cap U_2 = (0{,}3, 0{,}5) $$

Il s’agit d’un intervalle ouvert strictement contenu dans le cercle, donc d’un ouvert du quotient $ A $.

Étudions maintenant les préimages de ces ensembles dans $ \mathbb{R} $. Celles-ci sont constituées de l’union infinie d’intervalles ouverts répartis périodiquement le long de la droite réelle :

$$ p^{-1}(U_1) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}1,\ n + 0{,}5) $$

$$ p^{-1}(U_2) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}3,\ n + 0{,}7) $$

L’intersection de ces préimages donne la préimage de l’intersection des ensembles initiaux :

$$ p^{-1}(U_1 \cap U_2) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}3,\ n + 0{,}5) $$

On obtient ainsi une famille infinie d’intervalles ouverts, disjoints deux à deux, formant un ensemble ouvert dans la topologie usuelle de $ \mathbb{R} $.

Par conséquent, puisque la préimage de $ U_1 \cap U_2 $ est un ouvert de $ \mathbb{R} $, il s’ensuit que l’intersection $ U_1 \cap U_2 $ est également un ouvert de la topologie quotient $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $.

Ce raisonnement confirme que l’intersection finie de deux ouverts dans un espace quotient reste un ouvert - propriété fondamentale et conforme aux axiomes d’une topologie.

Ce principe s’étend naturellement à toute famille finie d’ouverts.