Intersection des intérieurs de deux ensembles
L’intersection des intérieurs de deux ensembles \( A \) et \( B \) est égale à l’intérieur de leur intersection : $$ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cap B) $$
Autrement dit, l’intérieur de l’intersection de deux ensembles coïncide exactement avec l’intersection de leurs intérieurs respectifs.
Intuitivement, les points qui appartiennent à la fois à l’intérieur de \( A \) et à celui de \( B \) sont précisément ceux qui appartiennent à l’intérieur de \( A \cap B \).
Pour bien saisir cette propriété, rappelons deux notions fondamentales :
- Intérieur d’un ensemble (\(\text{Int}(A)\)) : c’est l’ensemble des points de \( A \) qui admettent un voisinage ouvert entièrement contenu dans \( A \), c’est-à-dire des points situés strictement à l’intérieur de \( A \), en dehors de sa frontière.
- Intersection (\(\cap\)) : l’ensemble des éléments appartenant simultanément à \( A \) et à \( B \).
Ainsi, en croisant les intérieurs de \( A \) et \( B \), on obtient exactement l’intérieur de leur intersection.
Un exemple visuel
Imaginons deux disques \( A \) et \( B \) qui se chevauchent partiellement.
L’intérieur de chacun d’eux correspond à toute la surface du disque, sans le bord.
En prenant l’intersection de ces deux zones intérieures, on obtient précisément la partie intérieure de la zone de recouvrement entre \( A \) et \( B \).
Démonstration
Nous allons démontrer l’égalité en établissant les deux inclusions.
1] Première inclusion (\(\subseteq\))
Soit un point \( x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) \). Cela signifie qu’il existe un ouvert \( U \subseteq A \) contenant \( x \), ainsi qu’un ouvert \( V \subseteq B \) contenant également \( x \).
L’intersection \( W = U \cap V \) est alors un ouvert contenant \( x \), et de plus \( W \subseteq A \cap B \).
On en déduit que \( x \in \text{Int}(A \cap B) \), ce qui montre l’inclusion directe.
Soit \( x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) \). Par définition, il existe des ouverts \( U \) et \( V \) tels que \( x \in U \subseteq A \) et \( x \in V \subseteq B \).
Alors \( W = U \cap V \) est un ouvert contenant \( x \), et \( W \subseteq A \cap B \).
Donc \( x \in \text{Int}(A \cap B) \).
On en conclut : \( \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \cap B) \).
2] Seconde inclusion (\(\supseteq\))
Inversement, soit \( x \in \text{Int}(A \cap B) \). Il existe alors un ouvert \( W \) tel que \( x \in W \subseteq A \cap B \).
Par définition de l’intersection, cela implique que \( W \subseteq A \) et \( W \subseteq B \), donc que \( x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) \).
Soit \( x \in \text{Int}(A \cap B) \). Il existe un ouvert \( W \) tel que \( x \in W \subseteq A \cap B \).
Alors \( W \subseteq A \) et \( W \subseteq B \), donc \( x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) \).
On a ainsi : \( \text{Int}(A \cap B) \subseteq \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) \).
Les deux inclusions étant établies, on en déduit l’égalité :
\[ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cap B) \]
Ce qui conclut la démonstration.
