Intersection entre la frontière et l’ensemble en topologie
L’intersection entre la frontière \( \partial A \) d’un ensemble et l’ensemble lui-même \( A \) est vide si, et seulement si, \( A \) est un ouvert : $$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ est ouvert} $$
En d’autres termes, un ensemble \( A \) est ouvert si, et seulement si, aucun de ses points n’appartient à sa frontière.
Autrement dit, lorsque \( A \) est ouvert, il est disjoint de sa frontière.
Exemple concret
Considérons l’intervalle ouvert \((0, 1)\) dans un cadre topologique élémentaire : la droite réelle \(\mathbb{R}\), munie de sa topologie usuelle.
$$ A = (0, 1) $$
L’ensemble \( A \) est ouvert dans cette topologie.
Sa frontière se définit comme l’intersection de l’adhérence de \( A \) avec celle de son complémentaire \( \mathbb{R} \setminus A \) :
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - A) $$
L’adhérence de \( A \) est l’intervalle fermé \([0, 1]\) :
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
Quant à l’adhérence du complémentaire, elle est donnée par :
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
La frontière de \( A \) s’écrit donc :
$$ \partial A = [0, 1] \cap \left((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\right) $$
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Examinons maintenant l’intersection avec \( A \) :
$$ \partial A \cap A = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$
Ce résultat montre que l’intervalle ouvert \((0, 1)\) ne contient aucun point de sa frontière, ce qui confirme qu’il s’agit bien d’un ensemble ouvert.
Exemple 2
Considérons maintenant l’intervalle fermé \( B = [0, 1] \), toujours dans la topologie usuelle sur \(\mathbb{R}\) :
$$ B = [0, 1] $$
L’ensemble \( B \) est fermé.
Sa frontière est constituée des points appartenant à la fois à l’adhérence de \( B \) et à celle de son complémentaire :
$$ \partial B = \text{Cl}(B) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - B) $$
On a :
$$ \text{Cl}(B) = [0, 1] $$
Et :
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - B) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
D’où :
$$ \partial B = [0, 1] \cap \left((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\right) $$
$$ \partial B = \{0, 1\} $$
Dans ce cas, l’intersection avec l’ensemble n’est pas vide :
$$ \partial B \cap B = \{0, 1\} \cap [0, 1] = \{0, 1\} $$
Cela confirme que l’intervalle fermé \([0, 1]\) n’est pas un ouvert, puisqu’il contient des points de sa frontière.
Démonstration
Établissons à présent cette équivalence en deux étapes :
(⇒) Si \( \partial A \cap A = \emptyset \), alors \( A \) est ouvert
Supposons que l’intersection entre \( A \) et sa frontière soit vide :
$$ \partial A \cap A = \emptyset $$
Nous devons montrer que \( A \) est ouvert.
Si aucun point de \( A \) n’appartient à sa frontière, alors pour tout \( x \in A \), il existe un voisinage entièrement contenu dans \( A \).
Or, cela correspond précisément à la définition d’un ouvert en topologie.
Ainsi, \( A \) est bien un ouvert.
(⇐) Si \( A \) est ouvert, alors \( \partial A \cap A = \emptyset \)
Supposons maintenant que \( A \) soit un ouvert.
Nous devons démontrer que \( A \) et \( \partial A \) sont disjoints :
$$ \partial A \cap A = \emptyset $$
Si \( A \) est ouvert, alors tout point de \( A \) possède un voisinage entièrement inclus dans \( A \). Cela signifie qu’aucun de ses points ne peut être à la frontière entre \( A \) et son complémentaire.
Par conséquent, aucun point de \( A \) n’appartient à sa frontière.
D’où : \( \partial A \cap A = \emptyset \).
Conclusion
Nous avons démontré qu’un ensemble est ouvert si, et seulement si, il ne contient aucun de ses points frontières : $$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ est ouvert} $$
Et l’on peut poursuivre l’analyse selon cette logique.
